开始探究, 要求他们利用二项式定理展开, 然后探究当 n 增大时这个展开的性态如何, 让他们发现这个公式与指数函数之间的关联.
在学生的这个阶段, 虽然一般的幂级数不及泰勒多项式重要, 但常数项级数与几何级数非常重要. 在数学中, 几何级数几乎是无处不在的, 而且当学生学习种种收敛准则时, 几何级数是许多收敛准则的基石.
常数项级数很重要, 这是因为, 我们对极限的现代理解源于 18 世纪为理解它们收敛之含义所付出的努力. 科学家意识到, 关键的问题在于, 他们能否控制住部分和与所断言的值之间的差距. 与历史发展的路线一致, 许多教材选取无穷求和的例子来开始极限的学习.
此外, 学生需要意识到, 当莱布尼茨断言
时是何其大胆. 对学生来说, 这里有个机会让他们弄明白, 这样一个等式的含义是什么. 讨论 0.999… 的含义自然融入该框架内.
04 极限讲授为不等式的代数虽然在微积分课堂上给大一的学生讲授极限的 ε-δ 定义并要求他们掌握是不负责任的, 但这个形式化背后的思想对他们来说是可以接受的. 不论是积分、导数还是级数, 它们都是通过逼近来定义的. 极限是一个预先指定的值, 对任意的两个界, 一个比这个给定的值大, 另一个比这个给定的值小,一旦我们限制区间的长度(对积分和导数而言) 或部分和的最小项数(对无穷级数而言), 总可以使得近似在这两个界之间.
在微积分中应用的极限的思想也许看起来很简单, 但事实上它可以相当复杂. 对学生理解方式的探究揭示出, 学生在理解极限思想时最常用的一个比喻是被研究者称为“坍塌”的比喻. 不论是以明确还是隐含的方式, 学生将
理解为, 当 x 越来越趋近于 a 时, 就越来越接近于 L, 直到当 x 到达 a 时, f(x) 坍塌到 L.
对极限的大多数应用来说, 这个解释并不太坏, 而且常常被证明富有价值, 不过它也造成了一些危险的误导. 正如斯温亚德(Swinyard)曾证明的,这是对极限的一种“以 x 为先导”的视角, 考察自变量的变化如何影响因变量的变化. 问题在于, 极限的真正定义是“以 y 为先导”的, 先围绕 y 值选择一个可容许的误差, 然后确立存在 x 值的一个范围可以保证这一点. 斯温亚德和拉森(Larsen)曾表明, 学生理解极限的正确定义有极大的困难, 直到他们转换到“以 y 为先导”的理解.
厄尔特曼引导学生发现微分和积分原理的探究例子源于他对学生用来解释极限的“坍塌比喻”之分析.à 他发现, 对许多学生来说, 近似的语言是自然而高效的. 明确了这一点后, 他研发了许多任务, 要求学生将他们的近似思想系统化, 利用不等式的代数来预先指定近似导数或积分要达到的精度. 这让学生对这些概念有了切实的理解, 并为最终过渡到形式定义奠定了基础.
正如厄尔特曼在 2008 年报告的, 不论是微分、积分还是级数, 在每一种背景下, 学生都必须回答五个关键问题:
- 你在对什么东西做近似?
- 近似是什么?
- 误差是什么?
- 误差的界是多少?
- 误差是否可以控制在任意预先指定的精度内?
如厄尔特曼所解释的, 最后两个问题其实是一对互逆的问题: 给定近似中所用参数的描述, 误差的界是多少? 给定误差的界, 如何选取近似中的参数?
并非只有厄尔特曼采取了这个方法. 彼得·拉克斯(Peter Lax) 和玛利亚·特雷尔(Maria Terrell) 在其《微积分及其应用》(Calculus with Application)的开篇以不等式的论述为开端, 对极限进行了仔细的介绍.
最后, 我要稍微讲一讲无穷小. 近一千年来以来, 它是富有成果的洞见的源泉. 无穷小仍然具有巨大的直观吸引力, 经常帮助科学家将累积问题转化为定积分, 帮助他们导出微分方程. 虽然基于无穷小的微积分可以严格化,但那是一个需要成熟的集合论的 20 世纪的成果. 不过完全依赖于无穷小的主要问题在于, 过渡到对极限的现代理解将变得困难得多. 考虑到学生如此容易掌握近似和不等式, 这看起来是一个更自然且富有成果的途径.
推荐阅读备注：有读者疑惑《微积分溯源》一书中的句号均用“.”结束。因为这本书对标的是大学教材，因此按照大学专业数学教材的排版形式句号全部改为“.”。
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