各位同学大家好,欢迎来到十点课堂,跟勇哥学物理,今天距离高考还有91天,我们分享的主题是万有引力定律。
万有引力一共分三次课讲,今天第一次课,讲的内容有:地月系统,近地和远地,万有引力与重力的关系。
万有引力-地月系统
地月系统指的是:地球与月球所组成的系统,也可以看作是中心天体与卫星所组成的系统。
在地月系统中,月球绕地球做匀速圆周运动,运行的周期为T(约为30天),运行的半径为r(约为38万千米),
还已知地球的半径R(约为6400千米)和引力常量G;
问已知这四个物理量可以求出哪些物理量?
已知月球运行的周期T,运行的半径r,地球的半径R,和引力常量G,可以求出哪些物理量?
在地月系统中,共有两个研究对象,分别是月球和地球,那么我们分别来进行研究。
先看月球,已知它的运行的周期为T,运行的半径为r,
知道周期就可以求出:
运行的角速度ω=2π/T,
运行的线速度v=2πr/T,
运行的向心加速度a=4π²r/T²,
这些运行的物理量,角速度、线速度和向心加速度都可以求出来。
那么知道了向心加速度,能否求出月球所受到的向心力呢?
F=ma。
我们知道加速度a,但是因为月球的质量m未知,所以向心力是不能求出的,
另外月球所受到的万有引力F=GMm/r²也是不可以求出来的,
关于月球,我们能够求出它运行的线速度、角速度和加速度,但是它的受力,向心力和万有引力是不能求出来的。
再来看中心天体地球
根据月球绕地球做匀速圆周运动,万有引力提供向心力,我们可以写出公式,GMm/r²=m4π²r/T²。
公式化简之后,就可以求出中心天体的质量M=4π²r³/GT²,能求出它(地球)的质量了。
还已知的地球的半径R,我们把地球看作一个均匀的球体,它的体积V=4πR³/3,
有了质量和体积后,地球的平均密度ρ=M/V,就可以求出它的平均密度,带入之后化简得到密度ρ=3πr³/GT²R³.
在地月系统中,地月距离约为38万千米,我国发射的神舟飞船,距离地面的高度呢,只有300千米左右。
两者比较,神舟飞船的运行半径r就可以近似看成等于地球半径R,
当r≈R时,刚才求出来的密度ρ=3πr³/GT²R³,就可以化简为ρ=3π/GT²,
这样一来,宇航员在乘坐飞船时仅用一块手表就可以测定地球的平均密度,
因为他可以测出飞船绕地球运行一周所用的时间T(周期),代入ρ=3π/GT²就可以求出地球的平均密度。
总结一下,在地月系统中,我们可以求出月球运动的线速度,角速度和加速度,这些运动的物理量,它受力,向心力和万有引力是不能取出来的。
对于地球(中心天体)而言,我们可以求出它的质量M=4π²r³/GT²,
如果知道地球的半径,我们还可以求出地球的体积以及地球的平均密度。
这是地月系统当中已知一些物理量可以求出哪些物理量来。
万有引力-近地和远地
我们再来简单说一下近地和远地,有的老师总结成天上一式、地下一式。
什么是近地?
当在万有引力的题目中,题干中给出了重力加速度g和地球半径R,那么不管问题问什么,
先设近地卫星质量为m,地球的质量为M,
由万有引力等于重力得:GMm/R²=mg,
来推导出重要的公式-黄金代换GM=gR²
当万有引力的题干中给定了重力加速度g和地球半径R,在绝大多数情况下都要使用黄金代换GM=gR²,
它不能直接使用,必须设近地卫星质量为m,万有引力等于重力来进行推导。
如果题干中没有给定重力加速度g,而是给了自由落体或者抛体运动,那就利用自由落体和抛体运动求出当地的重力加速度g。
根据黄金代换GM=gR²,我们也可以求出地球的质量M=gR²/G,卡文迪许就是利用这个公式测定了地球的质量。
什么是远地?
远地也有一个明显的标志,就是在题干当中告诉我们,距地面的高度为h,
这时轨道的半径 r = 地球半径 R 距地面的高度h,r=R h,列出万有引力等于向心力的公式时,注意它的半径r=R h。
卫星在高空中绕地球飞行时,万有引力等于向心力,可以写出一连串的公式,注意这时候的运行半径r=R h。
因为卫星运行的高度 h 不同,所以它运行的线速度 v ,角速度 ω 和加速度 a 以及周期 T 都是不相同的,
根据万有引力提供向心力,我们就可以求出线速度 v ,角速度 ω 和加速度 a 以及周期 T这些物理量。
万有引力与重力的关系
最后我们简单的说一下万有引力与重力的关系,因为在之后的分享当中我们会讲到这方面的例题,所以今天先简单的了解一下知识点。
地球上的物体随着地球一起绕着地轴做匀速圆周运动,就需要有向心力,所以当物体放在地球上不同的位置上,万有引力的作用效果是不相同的。
在赤道上,万有引力F=重力G 向心力F向,
在两极上,物体与地轴在一条线上,这时候向心力F=0,所以万有引力F=重力G,
再强调一遍,在两极点上,万有引力等于重力,在赤道上,万有引力等于重力加上向心力,
如果在地球的其他纬度线上,万有引力有两个效果,一个是向心力,另外一个是重力,(三个力)满足平行四边形定则。
在我们做题的时候,经常把物体放到两极或者赤道,这两个特殊位置来进行分析。
我们今天的讲的内容比较多,讲了地月系统、近地和远地、以及万有引力和重力的关系,
请同学们仔细的听一下语音,我们今天的分享就到这里,谢谢大家,明天见。