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开始证明之前，回顾一下我们对于加法的定义：
定义加法是满足以下两种规则的运算：
1. 对于任意自然数m，0 m = m
2. 对于任意自然数m和n，n' m = (n m)'
与大上周一样，
这次的证明也分
一，证明：
对自然数m，m 0=m
已知0 m=m但并不能由此直接得出m 0=m，我们还并不知道加法交换律。我们可以用数学归纳
∵0 m=m；0是自然数
∴0 0=0
现假定n 0=n
根据加法定义
n' 0=（n 0）'=n'
∴对任意自然数m，均有m 0=m
证毕
二，证明：
对任意自然数n和m，n m'=（n m）'
依然用数学归纳法
对n进行归纳，当n=0时
根据加法定义
0 m'=（0 m）'
假定n m'=（n m）'，
求证n' m'=（n' m）'
根据加法定义
n' m'=(n m')'=[（n m）']'
（n' m）'=[（n m）']'
∴n' m'=（n' m）'
证毕
三，证明：
对任意自然数n和m，n m=m n
对n进行归纳，
首先考虑当n=0时，
0 m=m，m 0=m
∴0 m=m 0成立，
假设n m=m n成立
求证：（n'） m=m （n'）
∵n m=m n
（假设）
∴（m n）‘=（n m）’
（皮亚诺公理4）
∵n‘ m=（n m）’
(加法定义)
m n‘=（m n）’
（证明2）
∴n‘ m=m n’
∴对任意自然数n、m，均有n m=m n
证毕
关注*夸克欧氏几何
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