前面已经提到了矩阵和向量的乘法运算,这里再对矩阵相乘的概念进行重述。矩阵相乘是基本且常用的运算之一。这里定义矩阵X和矩阵A相乘得到矩阵Y。在定义乘法运算的过程中,需要使X的列数与A的行数相等。将乘法运算写为如下形式。
Y=AX或Y=A.X （1.17）
式（1.17）展示了两种矩阵乘法的书写习惯，前一种是线性代数里常用的矩阵乘法书写形式，后一种在张量分析中常用，代表向量的点乘运算。式（1.18）为写1成分量的形式。
（1.18）
这里有两点需要解释,有时会用字母加下标的方式来表示矩阵元素。而矩阵相乘的过程中,在一部分文献中会写成约定求和的方式,即省略求和符号而用相同的指标/代表求和。对于矩阵的乘法来说,还有其他的乘法形式,如矩阵的哈达玛积( Hadamard Product ) ,就是矩阵的对应元素相乘,其形式如下。
(1.19)
这里需要注意的是，式（1.19）中相同指标并不代表求和，而仅是元素相乘。与之相类似的是矩阵的加法运算，其代表着矩阵对应元素相加。
（1.20）
矩阵运算本身也有着类似于数字运算的法则。
（1）分配率
A(B C)=AB AC
（2）结合律：
(AB)C=A(BC)
(3) 交换律：矩阵运算无交换律。
1 矩阵分块运算和线性变换
回顾如下一种简单的等式。
（1.21）
Y=ax b
这是一种简单的表示形式，它代表x和y之间存在某种关系。如果将x与y看成二维空间中的坐标，那么式（1.21）则代表了空间中的某一条直线。写成矩阵的乘法与加法，则形式如下。
（1.22）
Y=AX B
式(1.22)实际上代表对矩阵X进行线性变换后得到Y的过程。因此矩阵的线性变换实际上就是对式(1.21)的扩展。这代表X与Y之间存在某种简单的关系。取Y,X, B的某一列向量r,y,b,则公式如下。
(1.23)
y=Ax b
这代表着对向量 进行线性变换。在给出式(1.22)的过程中,我们需要解释一个细节,就是矩阵的分块运算。对于矩阵的乘法及加法运算,都可以分解为对子矩阵进行相乘运算。例如将式(1.22)中矩阵的每一列看作一个子矩阵(向量) ,那么 可以写成分块形式。式(1.23)中X就来自于x1~xn。
(1.24)
X=[x1,...，xn]
将Y,B均写成类似的形式,那么X与A的乘法可以写成如下形式。
(1.25)
