三维积分的意义（积分公式的意义） - 原点资讯

编者按：本文原载《中国数学会通讯》（1997 年 9 月第 3 期），后又刊登在《高等数学研究》1997年第4期，感谢《高等数学研究》授权本公众号转载。

导读：本文系中国科技大学数学系龚昇教授1996 年 11 月 2 日在国家教委数学教学与课程体系改革座谈会上的发言。龚昇教授（1930-2011）是数学大师华罗庚的“六大弟子”之一，除了科研能力突出之外，教学方面也出类拔萃。这个发言可谓他在多年微积分教学实践中总结下来的心得。他对微积分的见解，得到了已故数学大师陈省身与吴文俊的高度赞赏（我们稍后会推出吴文俊对龚昇教授《简明微积分》的书评）。除了微积分，龚昇教授对复分析与线性代数的教学也深有心得，他与张德健教授合作，写了微积分五讲、复分析五讲、线性代数五讲的系列讲义，刊载于《数学传播》，有兴趣的读者可以浏览网页：https://web.math.sinica.edu.tw/mathmedia/author18.jsp?query_filter=龔昇

以下是正文。——林开亮

三维积分的意义,积分公式的意义(1)

龚昇教授

1958 年我调到中国科技大学教书，大多时间是教微积分，教了八年之后，于 1966 年对微积分教学产生了一些想法，于是写了一篇关于微积分教改想法的文章，刊登在《自然辩证法通讯》1966 年第 1 期上，并且按照这个想法写了一本微积分教材《简明微积分》（第一版 1978，人民教育出版社；第二版 1993、第三版 1997，中国科技大学出版社），这本教材中国科大一直用到现在，已近 20 年了。微积分的教材不知被写了多少本，我为何还要再写一本？这是有感而发。1995 年我对科大数学系的老师讲了为何三十年前要写这本微积分，大多数人都说从未听过。由于我对微积分教学的想法与三十年前无大变化，今天我只好老调重弹，讲讲三十年前的认识，请大家指正。

三维积分的意义,积分公式的意义(2)

（一）三个组成部分

首先要弄清楚微积分包括哪些内容，“对于某一现象的领域所特有的某一种矛盾的研究，就构成某一门科学的对象”（矛盾论，毛选一卷 284 页）。对微积分这门学科来讲，就是以微分与积分这对矛盾作为研究对象的。这点在恩格斯、列宁等一些经典著作中都早已指出。也就是说：微积分就是研究微分与积分这对矛盾的学问。这就决定了微积分的内容是由三个部分组成，即：微分、积分与指出微分与积分是一对矛盾的微积分基本定理这三部分。对于微分的部分与积分的部分都易于理解。对于第三部分，指出微分与积分是一对矛盾的微积分基本定理，也许得多说几句。

微分与积分的概念古已有之。如阿基米得就知道求了的切线，刘徽割圆术就是用无穷小分割求面积等等。在 Newton 与 Leibniz 之前，人们甚至已知道如何求的切线及由它覆盖曲边梯形面积（为正整数）。但所有这些还不能说建立了微积分，直到 Newton-Leibniz，证明了微积分基本定理，，微分与积分互为逆运算，也就是指出微分与积分是一对矛盾时，才算建立了微积分这门学科。所以恩格斯说：微积分“是由 Newton-Leibniz 大体上完成的，但不是由他们发明的”（恩格斯：自然辩证法）。由此可见微积分基本定理的重要性。这就组成了微积分第三部分。这种看法大概易于为大家所接受。正是由于 Newton-Leibniz 的功绩，使得微积分成了一门独立的学科，而不再象以前那样作为几何学的延伸；也正是由于 Newton-Leibniz 的功绩，求微分或积分的问题不再是一个个问题的来处理，而是有了统一的方法来处理。但是在高维空间中如何体现微分与积分是一对矛盾？在高维空间中体现微分与积分这一对矛盾的定理是 Green 公式、Stokes 公式与 Gasus 公式。要说清楚这点最好是用外微分形式来表述之。这时候，这三个公式可以用一个公式来书写，即：若为域，为的边界，其维数为，，为次外微分形式，则有如下的 Stokes 公式

这里的表示对的外微分，积分号多少维就是多少重。当为次外微分形式，此即 Newton-Leibniz 公式：当为次外微分形式而为平面区域时，此即 Green 公式：当为次外微分形式而为三维空间中的曲面时，此即 Stokes 公式；当为二次外微分形式而为三维空间中的一个区域时，此即 Gauss 公式。公式十分清楚地表明了在高维空间中微分与积分是一对矛盾，互为逆运算的关系，而且也十分清楚地看出：在微积分教材中所讨论的三维欧氏空间中，除了上述四个公式外，不可能再有别的这种类型的公式。值得指出的是：公式对高维欧氏空间也成立，甚至是微分流形时也成立。这说明 Stokes 公式是微积分中具有本质性的定理，也是微积分这门学科的顶峰与终点，甚至可以说是微积分中最为深刻的一条定理，也是微积分这门学科的结束处，也是从微积分走向现代数学的人口处，再往下走已不属于微积分的范围了。公式可以说是数学中少有的简洁、美丽而深刻的定理之一。

由于微积分的内容是这三部分组成，所以微积分的任务也就是讲清楚这三个部分，讲清楚微分与积分这对矛盾，而其它的概念都是为之服务的。

顺便提一下，大学一年级课程中，物理、化学等都称为普通物理、普通化学，十分谦虚，只有数学称之为高等数学，但何高之有？这个名称也许是源于这种说法：是否引入变量是作为区分初等数学与高等数学的标准，但是我想更科学的名称应该是“微积分”。

（二）三个发展阶段

从历史上看，微积分的发展经历了三个阶段。

第一阶段是Newton-Leibniz 建立起微积分的阶段，这大约在十七世纪六、七十年代，他们指出了微分与积分是一对矛盾，使微积分成为一门独立的学科。当时他们得到了大量正确的结果，并十分成功地应用到天文、力学、物理等学科，使得这些学科也得到了很大的发展。但是对于微积分的基础却并未牢固地建立起来，尤其是要的解释，不能令人满意，于是就不断地被人们攻击。著名的如 Berkeley 大主教的攻击，但是同时有一大批数学家纷纷起来捍-卫微积分。如 Taylor，McLaurin，Bernoulli 兄弟，Laplace，Lagrange 以及 Euler 等。人们经过种种努力要为微积分建立起一个巩固的基础，经过了近二百年的努力，到了十九世纪六十年代，微积分进人了第二阶段。这个阶段的代表人物是：Cauchy，Wieerstrass 与 Riemann 等，他们建立了微积分的基础，即通常所说的与的严格的极限理论，并用：与语言重新叙述证明微积分中的定义与定理。现行大部分教科书中的符号与 Wieorstrass 当年所用的几乎没有什么差别。这种从极限理论开始讲微积分的教材是当前大多数“严格”微积分教材的模式，尤其是前苏联的教材。这种说法已为大家普遍接受，我也不必赘述了。但是我认为微积分的发展还有一个第三阶段，这往往不被人们所注意，这就是外微分形式的建立。如前所述，有了外微分形式，而且只有用了外微分式形，才能真正说清楚在高维空间中微分与积分是一对矛盾。这就是前面提到的 Stokes 公式。有了这个公式，才使微积分最终划上一个句号，到达了终点。而同时也成为近代数学的人口处之一。外微分形式是由 Grassmann，Poincaré，Cartan 等人在 20 世纪初建立起来的。这也是为什么我在六十年代写《简明微积分》这本教科书时，要将外微分形式写进去的理由，据我所知，在这之后，又有一些教材参照我的写法写进了外微分形式。

对于由 Cauchy，Wieerstrass，Riemann 等人为代表建立起来的与的极限理论，在以往的多次政治运动中，成了批判对象，甚至提出“打倒柯家店”的口号，这是显然不对的，是数学上与政治上的幼稚的表现。实际上，“柯家店”是打不倒的。我相信，今后这种历史将不可能重演。但是如果把与看成至高无上，认为学生一入大学，不论他是什么专业，一定都要讲与，似乎不讲这些，就不能讲微积分，这种看法我认为值得商榷。是的，与在历史上的确起了极大的作用，是一大批数学家经历了近二百年建立起来的，的确为微积分建立了牢固的基础，很了不起，但这不等于不讲这些就不能讲微积分。Newton-Leibniz：时代没有这些，微积分不是也建立与发展起来了吗！有了与这套语言，使得微积分发展如虎添冀。但这套语言并末结束微积分，微积分这门课程终究主要讲的是微分与积分这对矛盾，而与这套语言是为之服务的。这里有个主从之分，从教学的角度来看，在微积分这门课程中应该让学生主要学到的是微积分，要不要用与这套语言应根据不同对象来决定：有的要讲，有的可以不讲也可以讲微积分；即使要讲，放到什么时候讲也值得考虑。是不是学生一人大学校门就讲与，实践证明：这样一来往往使一部分学生不知所措，感到数学很难。从教学角度，还有一个与物理的配合问题。我在《简明微积分》这本教材中，将与这套语言放到第九章去讲，即先让学生认识了微积分是什么之后，才用这套语言去更深刻地认识它。这样学生学习微积分时感到轻松，也解决了与物理配合的问题。从 20 年的教学实践来看，这样不比一开始就讲与来得差。

另一个问题是：在大学微积分课程中，用外微分形式来讲行不行？当然如果讲一大套流形、拓朴、映射、Grassmann 代数等来讲外微分形式，这样学生的确可能不易接受。这种办法是不可行的。但是如果不兴师动众，紧紧抓住面积与体积有方向这个十分易于接受的概念，则向学生们介绍三维空间的外微分形式不仅可能而且极易为他们所接受。我写的《简明微积分》就是这样处理的。20 年的教学实践证明学生是欢迎的，是能接受的。

数学教育本身的发展过程就是从低级到高级，由高级替代低级的过程。记得我在小学学算术感到很难。例如鸡兔同笼问题，已知有多少个头多少只脚，问有多少只鸡多少只兔。当时我实在感到很难，一是为何鸡兔要关在一个笼子里，二是既能数得清有多少个头多少只脚，为何数不清有多少只鸡多少只兔？老师教我解鸡兔同笼的方法更是使我感到很难。但等到学了初中代数，才明白这不过是二元一次联立方程组，解此方程组十分容易。不论鸡兔同笼还是鸭狗同室都可用此法来解。初中代数比小学算术高级，但高级的却比低级的容易，而且高级的替代了低级的。因此作为教师，不仅要教学生以新的知识，还要教学生忘掉一些已被替代掉的旧知识。人们从小学到大学读过的数学书叠在一起不知有多高，如果不是逐步忘掉一些被替代掉的旧知识，人们怎能记得住这么多！人们从上小学以来，年年学数学，实际上就是一个以高级替代低级的过程。除了上述例子外还可以举出很多例子来，这里所说的外微分形式，就是一个用高级（实际上容易接受的）替代低级（相对来讲是较难的）的例子。当人们有了 Stokes 公式以后，那么 Green 公式、Stokes 公式及 Gauss 公式等忘掉也无妨。到要用的时候，有公式推导一下是十分容易的。

（三）微积分定理的对应

在微分与积分是微积分这门课程的主要矛盾的观点下，原则上讲，在微分中的一条定理，在积分中也应有相应的定理，反之亦然。即他们之间应是相互对应的，且从某种意义上讲，是同一事物的两种不同的表达形式。用这种观点来撰写教材，可以将众多的定理梳理清楚，易于为学生所理解与接受，而且学生可以知一而知二，需要记住的内容大大减少。这也是使教材简明的一种方法。例如与相对应；与分部积分法相对应，复合函数的微分与变数代换法相对应，而以上三个方法正是构成了通常微积分教科书中求积分的三种主女方法，也是求微分的三种主要方法。再例如：微分的中值定理与积分的中值定理实际上是同一件事的两种不同表达形式，Toylor 级数的展开可用微分的方法，也可用积分的方法得到，其余项公式可用微分的方法得到及表达之，也可用积分的方法得到及表达之，等等。

（四）三个初等函数

在微积分课程中的定义与定理，往往说的是一般的函数，但是具体的例题与习题大部分却是以下三个大家十分熟悉的初等函数以及它们的复合函数。这三个初等函数为 1）幂函数以及它的反函数；2）三角函数以及它的反函数；3）指数函数以及它的反函数，即对数函数。我们知道，在复变函数的观点，这三个函数实际上是一个函数，可以相互表达的。在微积分教学中如果对这三个初等函数掌握好了，一般的函数也就易于理解了。不但如此，在微积分中，还有一部分是讲级数的，这可以这样来理解之，由于一般地讨论函数往往不好处理，于是有了用初等函数来表示或逼近的想法，用幂级数来表示一般函数，这就是 Tayfor 级数；用三角函数来表示一般函数，这就是 Foiuer 级数。至于为何没有用指数函数来表示一般函数的级数，一方面当然可以用函数系的正交性、完备性等解释（这就得说来话长），但这也可以用 Euler 公式来说明在复数域上的微积分，即复变函数的观点下，用指数函数表示一般函数的级数还是 Fouirer 级数。因之在这种认识下，在讲微积分的教材中，Taylor 级数、Fouier 级数是最基本的了。

（五）其它一些矛盾

在微积分中，微分与积分是一对主要矛盾，除此之外，还有一些其它次要的矛盾也在起着重要的作用。例如：离散与连续；局部与整体；有限与无限；必然与偶然等等。以离散与连续为例，无穷级数与无穷积分就是离散与连续的关系；Fouier 级数与 Fouier 积分也是连续与离散的关系等等。把这些内容放在离散与连续的关系下一起讲，就会显得十分简单明了。实际上有一条离散的定理就有一条相应的连续的定理，反之亦然，是同一件事在离散与连续的两种不同表现形式。至于其它一些矛盾也可以举出很多例子来，不在此一一列举了。

想法是三十年前的想法，书是三十年前写的，念过《简明微积分》这本书的学生数以千计。在国内外我遇到过这些学生，普遍反映还是好的。但这终究是三十年前的想法与书了，现在看看，缺点与毛病甚多，尤其是这三十年来计算机的大量发展及普及，为微积分的教学提出了新的挑战。这些年来，我也曾有机会在美国一些大学教过微积分，但大部教材我感到乏善足陈。但是在美国如何改革微积分教学已引起了众多数学家的关注，不少著名数学家投身于此，例如 Fields 奖获得者、IMU 主席 D.Mumford 教授就是一位。也出现了一些值得注意的教材，如由哈佛大学教授领导的小组编写的一些教材，的确有其鲜明的特色与长处，值得我们参考与借鉴。

三维积分的意义,积分公式的意义(3)