初等方阵左乘右乘结果示意图
由上图可以证明：左乘一个初等矩阵，相当于对A进行行变化；右乘一个初等矩阵，相当于对A进行列变化。
设A是一个n阶矩阵，若存在另一个n阶矩阵B，使得：AB=BA=E，则称方阵A可逆，并称方阵B是A的逆矩阵。
逆阵推导过程
由此，可推导出：(A，E) （E，）
一个矩阵右乘单位矩阵，将左边的矩阵换算成单位矩阵时，为了转换方便，可遵守以下规则：
(1)先将第一列换算，再进行第二列，再第3列，...
(2)再进行初等变换时，涉及到某一行乘以e倍对另一行进行相加时，整行的数(两个相乘的矩阵)一块进行操作
(3)如右边化不成E,说明该矩阵不可逆
矩阵的秩秩是什么？非零子式的最高阶数就是秩
秩用r表示，秩就是rank缩写
例：r(A) = r 表示A矩阵的秩是r
r(A) = 5也可以表示为 秩(A) = 5 表示A矩阵的秩是5
矩阵0的秩是0.表示为 r(0) = 0
若矩阵A有m行、n列，即 矩阵A的秩取值范围：0≤r(A)≤min{m,n}
当r(A)=m时，取所有行，行满秩；当r(A)=n，取所有列，列满秩
行满秩或列满秩统称为满秩，表示为r(A)=min{m, n}
降秩表示为r(A)<min{m, n}
A为方阵且A满秩A可逆≠ 0 下面证明一下这个推论：设矩阵, r(a)=n，则由"非零子式的最高阶数就是秩”得出n阶子式不等于0，n阶子式不等于0推出行列式≠ 0。行列式不等于0即可得出A可逆
定理：r(A)=r 有一个r阶子式不为0，所有r 1阶为0
假设有一个矩阵为6行8列即,有一个3阶子式不为0，则4阶子式都为0。那么，5阶子式、6阶子式有没有可能不为0呢？将5阶子式按行展开，可用该5阶子式的某一元素×代数余子式求解。5阶子式的代数余子式是4阶，4阶现在都是0，所以5阶子式也全为0。同理，6阶子式也全为0
秩的求解
阶梯型矩阵
阶梯形矩阵是本篇文章的重点，什么是阶梯型矩阵呢？1、若有零行，零行在非零行的下边；2、左起首非零元左边零的个数随行数的增加而严格增加
阶梯型矩阵图示
阶梯形矩阵的横线可以跨多个数，竖线只能跨一个数，如图：
