椭圆和双曲线的焦点三角形F1PF2是大家喜欢研究的一类问题，对于焦点三角形的面积除了与顶角∠F1PF2有关系外，还跟b有关系。那么进一步思考：焦点三角形的顶角的取值变化跟该圆锥曲线的离心率有联系吗，有什么联系呢？
答案是有联系的，而且有一个特殊的角度与一个特殊的离心率取值进行对应，下面给出详细的分析过程，再进行总结。
由于时间问题，在此以焦点在x轴上的椭圆为例。
其中F1 F2分别为左右焦点，P点为椭圆上任意异于左右顶点的点，则焦点三角形为F1PF2。椭圆标准方程为(x^2)/(a^2) (y^2)/(b^2)=1 (a＞b＞0，a＞c＞0，a^2=b^2 c^2)由于P点不在左右顶点上，因此F1PF2这三点不共线、可组成焦点三角形。
现在设|PF1|=m，|PF2|=n，∠F1PF2=θ。根据椭圆的定义可得 m n=2a(2a＞2c)，|F1F2|=2c。
在焦点三角形F1PF2中对于顶角θ使用余弦定理可知
cosθ=[m^2 n^2-(2c)^2]/(2mn)=[(m n)^2-2mn-(2c)^2]/(2mn)
=(4a^2-4c^2-2mn)/(2mn)=2b^2/(mn) -1
而m＞0，n＞0，mn≤[(m n)/2]^2,使得mn最大、进而使得cosθ的值最小再进而使得θ最大(cosθ在(0,π)单调递增)的取等条件为m=n，此时P点正好位于该椭圆的上顶点或下顶点处。
由于m=n，m n=2a，所以m=n=a，POF1 刚好是以b、c为直角边、a为斜边的直角三角形，继续研究：
(cosθ)min=2b^2/(a*a) -1=(b^2-c^2)/a^2
1、如果b＜c，则(cosθ)min ＜0，
在等腰三角形F1PF2中一个底角tan∠PF1O=(b/c)∈(0，1)，则∠PF1O＜45°，2个底角合计＜90°，即有顶角θmax ＞ π/2，
a^2=b^2 c^2＜c^2 c^2=2c^2，即a^2＜2c^2
则e =对应的e∈(二分之根号2， ∞)，离心率越大，椭圆越瘪，直到e趋近于1时椭圆图形压瘪近似为一个长为2a的线段，左右焦点接近于与左右顶点分别重合；
同理
2、如果b=c，则(cosθ)min =0，θmax = π/2， 进而对应离心率e=二分之根号2，这是一个相当美丽的椭圆；
3、如果b＞c，则(cosθ)min ＞0，θmax ＜π/2;进而对应离心率e∈(0，二分之根号2)，离心率越小，椭圆越鼓，直到e趋近于0时椭圆图形近似于一个半径为a的圆，两个焦点无限逼近于坐标原点O；
由上可知，离心率为二分之根号2的椭圆对应的焦点三角形的顶角最大可以为90°，若最大角度可以取到大于90°则离心率应大于二分之根号2，反之则离心率应小于二分之根号2。
这2个结论有什么用处呢？
第一个是可以判断命题的正确与否，例如有一本教辅是这样给出椭圆的条件的，离心率为二分之根号二，焦点三角形的顶角为120°，这显然是一个错误的命题，应该把离心率的取值设置在 [二分之根号3，1) .
第二个是今年高考的一道选择题，如果去年上圆锥曲线新课时认真听课的同学，做这道题是比较容易选择正确答案(0，二分之根号2)。
对于一个概念、一个图形、一类题目的理解的深入程度可能决定咱们正确解题快慢与否的一个因素。耐心仔细研究，每个人都会有一些收获。
