1-20这些自然数中质数有几个,1-20中的质数有哪些

首页 > 体育 > 作者:YD1662023-10-31 04:26:28

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今天我们将送出由江苏科技出版社提供的优质科普书籍牛津大学终极昆虫图鉴》。

1-20这些自然数中质数有几个,1-20中的质数有哪些(1)

《牛津大学终极昆虫图鉴》甄选牛津大学自然史博物馆700 多万昆虫标本,其中包括达尔文等时代先驱收集的珍品,由摄影艺术家列文· 比斯通过开创性的超微距摄影技术,捕捉到昆虫前所未有的肖像。

使用3600万像素高清相机,在200毫米定焦镜和10 倍显微镜头下,每只昆虫被分成大约30个不同的部分进行拍摄,通过8000多张独立的局部照片,历时4周,合成一只昆虫的完整肖像。它们有着令人叹为观止的细节,以及意想不到的美。这本书为我们提供了独特的观察体验,堪称自然与科学的真正奇迹。

只要你认真阅读下面的这篇文章,思考文末提出的问题,严格按照 互动:你的答案 格式在评论区留言,就有机会获得奖品!

作者:Kevin Hartnett

翻译:xux

审校:阎清晖

孪生质数猜想是数学界最重要也是最困难的问题之一。最近,两位数学家解决了这个问题的有限域版本,为这一著名猜想的最终证明提供了思路。

作为最著名的数学难题之一,孪生质数猜想已经困扰了数学家一个多世纪。如果能够解决这一难题,人们将揭露算术学(arithmetic)的某些最深层的性质。9月7日,两位数学家贴出了一份有关这一猜想的证明,为孪生质数猜想开辟了新的前沿阵地。

“很长一段时间内,我们都在这一问题上一筹莫展,步履难行。任何新见解的出现都会令人激动不已。”牛津大学的数学家詹姆斯·梅纳德(James Maynard)如是说。

孪生质数猜想说的是什么?我们把一对彼此相差2的质数叫做孪生质数,比如5和7,17和19等等。孪生质数猜想预测,在所有的自然数或整数中,这样的质数有无数对。在过去十年中,数学家们在这一问题上做出了突破性的进展,但是还远没到解决它的程度。

哥伦比亚大学的威尔·萨温(Will Sawin)和威斯康辛大学麦迪逊分校的马克·舒斯特曼(Mark Shusterman)给出了一份新证明。他们在一个更小但依然十分重要的数学世界——有限域系统(finite field system)中证明了孪生质数猜想是正确的。在这样的系统下,人们可以只处理少量的数字。

麻雀虽小,五脏俱全。有限域系统仍保留着整数域的许多性质。数学家们尝试在有限域中回答算术学的问题,并期望将这些结果应用到整数中去。“说起来可能有些天真:我们的最终梦想是,如果对有限域的世界理解得足够好,你就能解释整数世界。”梅纳德说。

在有限域系统中,除了证明孪生质数猜想,萨温和舒斯特曼还得到了一个效力更广的结果。他们证明了在短间隔中,孪生质数究竟多久出现一次。这一结果对孪生质数现象可谓是掌握到了极度精确的地步。数学家们做梦都想在普通的数字上得到这样的结论,所以,凡是相关的证明,他们都会找来细细研究,以期得到新思路,新启发。

新型质数

最著名的孪生质数猜想说的是,有无数对彼此相差2的质数。但是一个更加广义的命题预测,质数对的差距可以是任意常数,比如,你可以在自然数中找到无数对像3和7一样相差4的质数,或者像293和307一样相差14的质数。

这个更加广义的命题是法国数学家阿尔方斯·德·波林那克(Alphonse de Polignac) 在1849年提出的。在接下来的160年中,数学家们进展甚微。但是到了2013年,堡垒被攻破了,或者至少出现了显著的裂痕。那年张益唐证明了有无数对间隔不超过7000 0000的孪生质数。在接下来的一年中,其他数学家,包括梅纳德和陶哲轩,显著缩小了这一质数间隔。目前,已经被证明的孪生质数猜想,其间隔已经缩小至246。

但是,孪生质数问题的进展就此停滞了,数学家明白,如果要彻底解决这一问题,他们需要一个全新的思路。而有限域系统就是一个寻找新思路的好地方。

为了构建一个有限域,可以先从自然数中提取一个有限的子集,可以选取头五个(或者任意质数个)数字。我们用表盘(而不是通常使用的数轴)来将这些数字直观地表示出来。

直觉会告诉你,运算沿着顺时针方向进行。在有限域系统中,4 3是多少?我们可以从4开始,沿着表面数三个格子,到达2的位置。减法、乘法和除法的工作原理也是相似的。

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图注:有限数字系统。一个有限域含有有限个元素。(通常是质数个)左图展示了5个元素的有限域,右图是在此有限域中的加法运算过程。

只有一个陷阱。典型的质数概念在有限域系统里似乎讲不通。在有限域中,每个数字都可以被其它数整除。例如,7通常不能被3整除,但在一个有5个元素的有限域中却是可以的。那是因为,在这个有限域中,7和12是同一个数字,它们都降落在钟面上2的位置。所以7除以3等于12除以3,12除以3等于4。

有限域中不存在质数,那么,在有限域中我们用质数多项式来类比整数域中的质数。有限域中的孪生质数猜想讨论的,是像x^2 1这样的数学表达式。

质数多项式是什么?对于一个只包含1,2,3的有限域,这个有限域内的多项式的系数只能从1,2,3中选取。而“质数”多项式就是不能被因式分解的多项式。所以x^2 x 2是质数多项式,因为它不能被分解,但x^2-1不是质数多项式,它是x 1和x-1的乘积。

接下来,你自然会问到孪生质数多项式:一对多项式,它们既是质数多项式,又隔着一个固定的间隙。例如,多项式x^2 x 2是质数多项式,x^2 2x 2也是质数多项式。两者相差多项式x(第一个多项式加x就得到第二个)。

有限域的孪生质数猜想推测,有限域中存在着无数多对孪生质数多项式,它们不一定相距x,可以相距任意间隔。

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图注:素数多项式是什么?一个素数多项式只有一个素数因子式——它自己。如上图:x^2 x 2具有素数性质,因为它不能被因式分解;x^2-1不具有素数性质,它是x 1和x-1的乘积。

庖丁解牛

有限域质数多项式看起来可能太不自然了,人为设计的痕迹明显,在研究一般数字方面用处不大。但它们很像飓风模拟器——一个自给自足的独立宇宙,能够对更广阔世界中的现象提供洞见。

舒斯特曼说:“把整数问题和多项式问题相互转化,这一做法自古就有。虽然转化来转化去,问题可能依然困难,但多项式版本的问题更可解了。”

20世纪40年代,安德烈·威尔(André Weil)将有限域系统中的算术学,准确地应用到了整数域。于是,有限域突然变得声名显赫起来。威尔利用有限域和整数域的这种联系达到了惊人的效果。他证明了数学中最重要的问题——黎曼猜想——的简化版本,即关于有限域中曲线的问题(也被称作几何黎曼猜想)。这一证明,再加上威尔提出的一系列附加猜想——威尔猜想,让人们确信,在数学世界的探索中,有限域是一片景色绮丽的富饶之地。

威尔最关键的见解是,在有限域的语境中,几何学的技巧是回答关于数字的问题的有力武器。“这就是有限域的特别之处。许多你想解决的问题,可以用几何的方式来重新表述,”舒斯特曼说。

几何和有限域是怎么扯上关系的呢?请将每个多项式想象为空间中的一个点。多项式的系数作为确定多项式所在位置的坐标。回到只含1,2,3三个元素的有限域,多项式2x 3的位置就是二维空间中的点(2,3)。

但即使是最简单的有限域也有无穷多个多项式。因为总可以增大最高次项的指数来把多项式变复杂。在我们的例子中,多项式x^2-3x-1可以用三维空间中的一个点表示。多项式3x^7 2x^6 2x^5-2x^4-3x^3 x^2-2x 3要用八维空间中的一个点表示。

这项新的工作中,就是用几何空间来代表某有限域的所有给定阶数的多项式(比如用一个三维空间来表示由1,2,3构成的有限域的所有最高次项指数不超过3的多项式)。于是问题就变成了:有没有办法分离出所有代表质数多项式的点?

萨温和舒斯特曼的策略是把空间分成部分。其中一部分中,所有点都对应于具有偶数个因式的多项式;另一部分的所有点都对应于含有奇数个因式的多项式。

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图注:素数的几何。为了找到素数多项式,数学家将方程翻译成几何语言。子图1:用多项式的系数作为空间中点的坐标。在这儿,2x 3对应二维球面上的点(2,3);子图2:在表面上画一条线,这条线将含有偶数个和奇数个因式的多项式分割开来;子图3:运用前人总结出的技巧,将“奇数部分”中只含一个素数因子式的点挑出来。

这已经使问题简单化了。有限域的孪生质数猜想讨论的是质数多项式,也就是只有一个因式的多项式(就像质数本身有一个因子一样)。因为1是奇数,所以偶数个因式的部分就不用考虑了。

诀窍在于分界。对于一个二维空间,比如一个球体的表面,想要将其一分为二,用一条一维的曲线就可以了,就像赤道把地球表面一分为二一样。更高维度的空间总是可以用比它少一个维度的物体来分割。

然而划分多项式空间的低维形状远不及赤道那样简洁优雅。它们是被一个称为莫比乌斯函数的数学公式画出来的:输入一个多项式,如果这个多项式有偶数个质数因式,则输出1,如果多项式有奇数个质数因子式,则输出-1;如果多项式只有一个重复的因子式(就像16可以被分解为2×2×2×2),则输出0。

莫比乌斯函数绘制出的曲线疯狂地扭曲和转动,曲线自身形成了许多交叉点。它们交叉的地方称为奇点。这些奇点特别难以分析,它们对应于具有重复质数因式的多项式。

萨温和舒斯特曼的主要创新在于找到了一种精确的方法,将低维的环分割成更短的线段。这些片段比完整的环更容易研究。

把具有奇数个因式的多项式分好类(这是最难的一步)之后,萨温和舒斯特曼就必须确定这其中哪些是质数,哪些是孪生质数。为此,他们应用了数学家用来研究正则数中质数的几个公式。

关于有限域上质数多项式,萨温和舒斯特曼证明了两个主要结论:

首先,有限域的孪生质数猜想是正确的:有无限多对孪生质数多项式,其间隔可以是你选择的任意表达式。

其次,甚至更必然地,这项工作给出的方法,对于给定阶的多项式,能够精确地算出所有孪生质数多项式的个数。对于整数域来说,这类似于知道在数轴上任意长的间隔内,究竟有多少孪生质数。这是数学家梦寐以求的结果。

特拉维夫大学的泽夫·鲁德尼克(Zeev Rudnick)说:“这是第一个给出整数上的定量模拟结果的工作,这是一个非常突出的发现。已经很久没有出现过这样的突破了。”

萨温和舒斯特曼的证明表明,在安德烈·威尔用有限域上的曲线证明黎曼猜想近80年后,数学家们仍然在他开辟的这条路上积极地探索。致力于攻克孪生质数猜想这一难题的数学家们,现在将转向萨温和舒斯特曼的工作,并期望它将成为一个同样深邃的灵感源泉。

原文链接:https://www.quantamagazine.org/big-question-about-primes-proved-in-small-number-systems-20190926/

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编辑:aki

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