集合注:本文使用新课标人教B版数学教材
把一些能够确定的、不同的对象汇集在一起,就说有这些对象组成一个集合(有时简称集),组成集合的每个对象都是这个集合的元素.
集合通常用英文大写字母A,B,C,…表示,集合的元素通常用英文小写字母a,b,c,…表示.
如果a是集合A的元素,就记作a∈A,读作“a属于A”.
如果a不是集合A的元素,就记作a∉A,读作“a不属于A”.
例如,
A班级中有a,b,c三名同学;
B班级中有d,e,f三名同学。
就可以把学生a,b,c理解为集合A中的元素,把学生d,e,f理解为集合B中的元素。
可以记作a,b,c∈A;a,b,c∉B
d,e,f∈B,d,e,f∉A。
一般地,不含任何元素的集合称为空集,记作∅.
例如,设x²=-1,求x的所有实数解组成的集合,因为此方程无实数解,所有此集合为空集。
根据集合的概念可知,集合的元素具有以下特点:
(1)确定性:集合的元素必须是确实的.
例如,“接近1的数”不能成为元素,而“大于0.8,小于1.2的数”可以
所以,需要凭主观感觉得出的对象不能元素。
(2)互异性:对于一个给定的集合,集合中的元素一定是不同的.
例如,单词success中所有英文字母组成的集合,包含的元素只有四个,即s,u,s,e
(3)无序性:集合中的所有元素可以任意排列.
例如,x(x-1)=0的所有实数解的集合既可以写成{0,1}也可以写成{1,0}
给定两个集合A和B,如果组成它们的元素完全相同,就称这两个集合相等,记作A=B.
集合可以根据它含有的元素个数分为两类:
含有有限个元素的集合称为有限集,含有无限个元素的集合称为无限集.
空集可以看成包含0个元素的集合,所以空集是有限集
几种常见的数集:
自然数集:所有非负整数组成的集合,记作N
正整数集:自然数集N中,去掉元素0之后的集合,记作N*或N (*在右上角, 在右下角)
整数集:所有整数组成的集合,记作Z
有理数集:所有有理数组成的集合,记作Q
实数集:所有实数组成的集合,记作R
列举法
把集合中的元素一一列举出来(相邻元素之间用逗号分隔),并写在大括号内,以此来表示集合的方法称为列举法.
例如,由两个元素0,1组成的集合可用列举法表示为 {0,1}
用列举法表示集合时,一般不考虑元素的顺序.
例如,{1,2}与{2,1}表示同一个集合.
但是,如果一个集合的元素较多,且能够按照一定的规律排列,那么在不至于发生误解的情况下,可按照规律列出几个元素作为代表,其他元素用省略号表示.
例如,不大于100的自然数组成的集合,可表示为 {0,1,2,3, …,100}
无限集有时也可用列举法表示.
例如,自然数集N可表示为 {0,1,2,3,…, n,…}
值得注意的是,只含一个元素的集合{a}也是一个集合,要将这个集合与它的元素a加以区别,事实上, a∈{a}
描述法
一般地,如果属于集合A的任意一个元素x都具有性质p(x),而不属于集合A的元素都不具有这个性质,则性质p(x)称为集合A的一个特征性质.
此时,集合A可以用它的特征性质p(x)表示为
{x|p(x)}.
区间及其表示
习惯上,如果a<b,则集合{x|a≤x≤b}可简写为[a,b],并称为闭区间.
例如,集合{x|1≤x≤2}可简写为闭区间[1,2]
类似地,如果a<b,则集合{x|a<x<b}可简写为(a,b),并称为开区间.
如果a<b,则集合{x|a<x≤b}可简写为(a,b],并称为半开半闭区间.
上述区间中,a,b分别称为区间的左、右端点,b-a称为区间的长度.
区间可以用数轴形象地表示
例:如图为-2<x≤3区间用数轴表示图
-2<x≤3
如果用“十∞”表示“正无穷大”,用“一∞”表示“负无穷大”
则: 实数集R可表示为区间(一∞,十∞)