学习目标 1.掌握集合的两种表示方法：列举法和描述法.2.会用集合的两种表示方法表示一些简单的集合．
导语
同学们，上节课我们学习了集合的概念，还有一些特殊的集合，比如非负整数集、正整数集等，我们发现可以用自然语言描述一个集合，而语言正是我们之间相互联系的一种方式，同样的祝福又有着不同的表示方式，例如，我们中文说“祝你生日快乐”，英文为“Happy Birthday to you”等等，那么对于一个集合，会有哪些不同的表示方法呢？让我们一同进入今天的探究之旅．
一、用列举法表示集合
问题1 用A表示“本班所有的男生”组成的集合，这是利用的哪种方法表示的集合？你能把集合A中的所有元素逐一列举出来吗？
提示 ①这是用自然语言法表示的集合；②我们可以把所有男生的名字写出来，或者把所有男生的学号一一写出．
知识梳理
列举法——像这样把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“{ }”括起来表示集合的方法叫做列举法．
注意点：(1)元素间用“，”隔开；(2)集合中的元素是确定的，元素不重复，元素无顺序；(3)对于元素个数较少时，把元素一一列举出来并用“{ }”括起来即可；(4)对于元素个数较多时，如果构成该集合的元素有明显规律，可用列举法，但必须把元素间的规律显示清楚，然后加省略号，比如正整数集可表示为{1,2,3,4,5…}；(5)这里集合的“{ }”已包含所有的意思，比如{整数}，即代表整数集Z，而不能用{全体整数}，即不能出现“全体”“所有”等字眼．
例1 (教材第3页例1改编)用列举法表示下列集合：
(1)小于10的所有正整数组成的集合；
(2)方程x2＋x＝0的所有实数根组成的集合；
(3)直线y＝2x＋1与y轴的交点所组成的集合．
解 (1)设小于10的所有正整数组成的集合为A，那么A＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9}．
(2)设方程x2＋x＝0的所有实数根组成的集合为B，那么B＝{－1,0}．
(3)将x＝0代入y＝2x＋1，得y＝1，即交点是(0,1)，故交点组成的集合是{(0,1)}．
反思感悟 用列举法表示集合的3个步骤
(1)求出集合的元素；
(2)把元素一一列举出来，且相同元素只能列举一次；
(3)用花括号括起来．
提醒：二元方程组的解集，函数图象上的点构成的集合都是点的集合，一定要写成实数对的形式，元素与元素之间用“，”隔开．如{(2,3)，(5，－1)}．
跟踪训练1 用列举法表示下列给定的集合：
(1)不大于10的非负偶数组成的集合A；
(2)小于8的质数组成的集合B；
(3)方程2x2－x－3＝0的实数根组成的集合C；
(4)一次函数y＝x＋3与y＝－2x＋6的图象的交点组成的集合D.
解 (1)不大于10的非负偶数有0,2,4,6,8,10，所以A＝{0,2,4,6,8,10}．
(2)小于8的质数有2,3,5,7，
所以B＝{2,3,5,7}．
(3)方程2x2－x－3＝0的实数根为－1，，所以C＝.
(4)由得
所以一次函数y＝x＋3与y＝－2x＋6的交点为(1,4)，
所以D＝{(1,4)}．
二、用描述法表示集合
问题2 你能用列举法表示不等式x－7<3的解集吗？
提示 不等式x－7<3的解是x<10，因为满足x<10的实数有无数个，所以x－7<3的解集无法用列举法表示．但是，我们可以利用解集中元素的共同特征，即x是实数，且x<10，把解集表示为{x∈R|x<10}．
问题3 仿照上面的例子以及阅读课本，你能表示偶数集吗？
提示 {x∈Z|x＝2k，k∈Z}．
知识梳理
一般地，设A是一个集合，我们把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所组成的集合表示为{x∈A|P(x)}，这种表示集合的方法称为描述法．
注意点：
(1)写清该集合中元素的代表符号，如{x|x>1}不能写成{x>1}；
(2)用简明、准确的语言进行描述，如方程、不等式、几何图形等；
(3)不能出现未被说明的字母，如{x∈Z|x＝2m}中m未被说明，故此集合中的元素是不确定的；
(4)所有描述的内容都要写在花括号内，如“{x∈Z|x＝2m}，m∈N＋”不符合要求，应将“m∈N＋”写进“{ }”中，即{x∈Z|x＝2m，m∈N＋}；
(5)元素的取值(或变化)范围，从上下文的关系来看，若x∈R是明确的，则x∈R可省略不写，如集合D＝{x∈R|x<20}也可表示为D＝{x|x<20}；
(6)多层描述时，应当准确使用“且”“或”等表示元素之间关系的词语，如{x|x<－1，或x>1}；
(7)“{ }”有“所有”“全体”的含义，如所有实数组成的集合可以用描述法表示为{x|x是实数}，但如果写成{x|x是所有实数}、{x|x是全体实数}、{x|x是实数集}都是错误的，因为“{ }”本身既表示集合的意思，也表示了“所有”“全体”的意思，此处是初学者容易犯的错误，要注意领会．
例2 用描述法表示下列集合：
(1)不等式2x－3<1的解组成的集合A；
(2)被3除余2的正整数的集合B；
(3)C＝{2,4,6,8,10}；
(4)平面直角坐标系中第二象限内的点组成的集合D.
解 (1)不等式2x－3<1的解组成的集合为A，则集合A中的元素是数，设代表元素为x，则x满足2x－3<1，则A＝{x|2x－3<1}，即A＝{x|x<2}．
(2)设被3除余2的数为x，则x＝3n＋2，n∈Z.但元素为正整数，故x＝3n＋2，n∈N.所以被3除余2的正整数的集合B＝{x|x＝3n＋2，n∈N}．
(3)设偶数为x，则x＝2n，n∈Z.但元素是2,4,6,8,10，
所以x＝2n，n≤5，n∈N*.
所以C＝{x|x＝2n，n≤5，n∈N*}．
(4)平面直角坐标系中第二象限内的点的横坐标为负，纵坐标为正，即x<0，y>0，故第二象限内的点的集合为D＝{(x，y)|x<0，y>0}．
反思感悟 (1)用描述法表示集合时应弄清楚集合的属性，即它是数集、点集还是其他的类型，一般地，数集用一个字母代表其元素，点集用一个有序实数对代表其元素．
(2)若描述部分出现代表元素以外的字母，则要对新字母说明其含义或指出其取值范围．
跟踪训练2 (教材第4页例2改编)试分别用描述法和列举法表示下列集合：
(1)方程x2－5＝0的所有实数根组成的集合A；
(2)由小于8的所有自然数组成的集合B.
解 (1)描述法表示为A＝{x∈R|x2－5＝0}，列举法表示为A＝{，－}；
(2)描述法表示为{x∈N|0≤x<8}(形式不唯一)，列举法表示为{0,1,2,3,4,5,6,7}．
三、方程与集合
例3 已知集合A＝{x|ax2＋2x＋1＝0，a∈R}，若A中只有一个元素，求a的值．
解 当a＝0时，原方程变为2x＋1＝0，此时x＝－，符合题意；
当a≠0时，方程ax2＋2x＋1＝0为一元二次方程，
当Δ＝4－4a＝0，即a＝1时，原方程的解为x＝－1，符合题意．
故当a＝0或a＝1时，原方程只有一个解，此时A中只有一个元素．
延伸探究
1．在本例条件下，若A中至多有一个元素，求a的取值范围．
解 A中至多有一个元素，即A中有一个元素或没有元素．
当A中只有一个元素时，由例题可知，a＝0或a＝1.
当A中没有元素时，Δ＝4－4a<0，且a≠0，即a>1.
故当A中至多有一个元素时，a的取值范围为{a|a＝0或a≥1}．
2．在本例条件下，是否存在实数a，使集合A与集合{1}相等？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．
解 ∵A＝{1}，∴1∈A，∴a＋2＋1＝0，即a＝－3.
又当a＝－3时，由－3x2＋2x＋1＝0，
得x＝－或x＝1，
即方程ax2＋2x＋1＝0有两个根－和1，
此时A＝，与A＝{1}矛盾．
故不存在实数a，使A＝{1}．
反思感悟 根据已知的集合求参数的关注点
(1)若已知集合是用描述法给出的，读懂集合的代表元素及其属性是解题的关键，如例3集合A中的元素就是所给方程的根，由此便把集合的元素个数问题转化为方程的根的个数问题．
(2)a＝0这种情况极易被忽视，对于方程“ax2＋2x＋1＝0”有两种情况：一是a＝0，即它是一元一次方程；二是a≠0，即它是一元二次方程，也只有在这种情况下，才能用判别式Δ来解决问题．
跟踪训练3 已知集合A＝{a＋3，(a＋1)2，a2＋2a＋2}，若1∈A，求实数a的值．
解 ①若a＋3＝1，则a＝－2，
此时A＝{1,1,2}，不符合集合中元素的互异性，舍去．
②若(a＋1)2＝1，则a＝0或a＝－2.
当a＝0时，A＝{3,1,2}，满足题意；
当a＝－2时，由①知不符合条件，故舍去．
③若a2＋2a＋2＝1，则a＝－1，
此时A＝{2,0,1}，满足题意．
综上所述，实数a的值为－1或0.
1．知识清单：
(1)列举法；
(2)描述法；
(3)集合与方程、不等式的关系．
2．方法归纳：分类讨论．
3．常见误区：列举法与描述法的乱用，涉及x2的系数不确定时，忽略讨论方程是一次方程还是二次方程．
1．集合{x∈N*|x－2≤1}的另一种表示法是( )
A．{0,1,2,3} B．{1,2,3}
C．{0,1,2,3,4} D．{1,2,3,4}
答案 B
解析 因为x－2≤1，x∈N*，所以x≤3，x∈N*，从而x＝1,2,3.
2．对集合用描述法来表示，其中正确的一个是( )
A.
B.
C.
D.
答案 D
解析 A，B中x可以表示负数，C中没有元素.
3．下列说法中正确的是( )
①0与{0}表示同一个集合；
②由1,2,3组成的集合可表示为{1,2,3}或{3,2,1}；
③方程(x－1)2(x－2)＝0的所有解组成的集合可表示为{1,1,2}；
④集合{x|4<x<5}可以用列举法表示．
A．只有①和④ B．只有②和③
C．只有② D．只有②和④
答案 C
解析 ①中“0”不能表示集合，而“{0}”可以表示集合，故①错误；根据集合中元素的无序性可知②正确；根据集合中元素的互异性可知③错误；④不能用列举法表示，原因是集合中有无数个元素，不能一一列举．
4．用列举法表示集合D＝{(x，y)，x∈N，y∈N|y＝－x2＋8}为____________．
答案 {(0,8)，(1,7)，(2,4)}
解析 由已知得集合D为点集，结合元素的条件可知答案只有三组，列举可得答案．
课时对点练
1．已知集合M＝{x|x∈N}，则( )
A．0∈M B．π∈M
C.∈M D．1∉M
答案 A
解析 由集合M＝{x|x∈N}知：0∈M，故A正确；π∉M，故B错误；∉M，故C错误；1∈M，故D错误．
2．已知集合A＝{1,2}，B＝{x|x＝a＋b，a∈A，b∈A}，则集合B中的元素个数为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
答案 C
解析 ∵集合A＝{1,2}，B＝{x|x＝a＋b，a∈A，b∈A}，∴B＝{2,3,4}，∴集合B中的元素个数为3.
3．把集合{x|x2－4x－5＝0}用列举法表示为( )
A．{x＝－1，x＝5} B．{x|x＝－1，或x＝5}
C．{x2－4x－5＝0} D．{－1,5}
答案 D
解析 根据题意，解x2－4x－5＝0可得x＝－1或5，用列举法表示为{－1,5}．
4．若1∈{x＋2，x2}，则实数x的值为( )
A．－1 B．1 C．1或－1 D．1或3
答案 B
解析 由1∈{x＋2，x2}，可得x2＝1(x＋2＝1时，由元素的互异性排除)，则x＝±1.当x＝1时，x＋2＝3，满足要求；当x＝－1时，－1＋2＝1，不满足元素的互异性，
∴x＝1.
5．下列集合中表示同一集合的是( )
A．M＝{(3,2)}，N＝{(2,3)}
B．M＝{2,3}，N＝{3,2}
C．M＝{(x，y)|x＋y＝1}，N＝{y|x＋y＝1}
D．M＝{2,3}，N＝{(2,3)}
答案 B
解析 选项A中的集合M是由点(3,2)组成的点集，集合N是由点(2,3)组成的点集，故集合M与N不是同一个集合；选项C中的集合M是由一次函数y＝1－x图象上的所有点组成的集合，集合N是由一次函数y＝1－x图象上的所有点的纵坐标组成的集合，即N＝{y|x＋y＝1}＝R，故集合M与N不是同一个集合；选项D中的集合M是数集，而集合N是点集，故集合M与N不是同一个集合；对于选项B，由集合中元素的无序性，可知M，N表示同一个集合．
6．(多选)已知集合A＝{x∈N|x<6}，则下列关系式成立的是( )
A．0∈A B．1.5∉A
C．－1∉A D．6∈A
答案 ABC
解析 ∵A＝{x∈N|x<6}＝{0,1,2,3,4,5}，∴6∉A，故D不成立，其余都成立．
7．集合{x|x＝2m－3，m∈N*，m<5}，用列举法表示为________________．
答案 {－1,1,3,5}
解析 集合中的元素满足x＝2m－3，m∈N*，m<5，
则满足条件的x值：m＝1，x＝－1；m＝2，x＝1；m＝3，x＝3；m＝4，x＝5.
则集合用列举法表示为{－1,1,3,5}．
8．若集合A＝{x∈R|kx2＋4x＋4＝0}只有一个元素，则实数k的值为________．
答案 0或1
解析 集合A中只有一个元素，即方程kx2＋4x＋4＝0只有一个根．当k＝0时，方程为一元一次方程，只有一个根；当k≠0时，方程为一元二次方程，若只有一个根，则Δ＝16－16k＝0，即k＝1.所以实数k的值为0或1.
9．用适当的方法表示下列集合：
(1)方程x(x2＋2x＋1)＝0的解集；
(2)在自然数集内，小于1 000的奇数构成的集合；
(3)不等式x－2>6的解构成的集合；
(4)大于0.5且不大于6的自然数的全体构成的集合；
(5)方程组的解集．
解 (1){0，－1}．
(2){x|x＝2n＋1，且x<1 000，n∈N}．
(3){x|x>8}．
(4){1,2,3,4,5,6}．
(5)解集用描述法表示为，
解集用列举法表示为{(2，－1)}．
10．下列三个集合：
①A＝{x|y＝x2＋1}；
②B＝{y|y＝x2＋1}；
③C＝{(x，y)|y＝x2＋1}．
(1)它们是不是相同的集合？
(2)它们各自的含义分别是什么？
解 (1)它们是互不相同的集合．
(2)集合A＝{x|y＝x2＋1}的代表元素是x，且x∈R；
集合B＝{y|y＝x2＋1}的代表元素是y，满足条件y＝x2＋1的y的取值范围是y≥1.
集合C＝{(x，y)|y＝x2＋1}的代表元素是(x，y)，是抛物线y＝x2＋1上的点．
11．由大于－3且小于11的偶数所组成的集合是( )
A．{x|－3<x<11，x∈Z}
B．{x|－3<x<11}
C．{x|－3<x<11，x＝2k}
D．{x|－3<x<11，x＝2k，k∈Z}
答案 D
解析 由题意可知，满足题设条件的只有选项D.
12．将集合用列举法表示，正确的是( )
A．{2,3} B．{(2,3)}
C．{x＝2，y＝3} D．(2,3)
答案 B
解析 解方程组得
所以集合＝{(2,3)}．
13．已知A＝{a－2,2a2＋5a,12}且－3∈A，则由a的值构成的集合是( )
A．－ B.
C．{－1} D.
答案 D
解析 ∵－3∈A，A＝{a－2,2a2＋5a,12}，
∴或
解得a＝－.D正确．
14．若一数集的任一元素的倒数仍在该集合中，则称该数集为可倒数集，则集合A＝{－1,1,2}________(填“是”或“不是”)可倒数集．试写出一个含三个元素的可倒数集________．(答案不唯一)
答案 不是
解析 由于2的倒数不在集合A中，故集合A不是可倒数集．若一个元素a∈A，则∈A.若集合中有三个元素，故必有一个元素a＝，即a＝±1，故可取的集合有，等．
15．对于任意两个正整数m，n，定义某种运算“※”如下：当m，n都为正偶数或正奇数时，m※n＝m＋n；当m，n中一个为正偶数，另一个为正奇数时，m※n＝mn，则在此定义下，集合M＝{(a，b)|a※b＝16}中的元素个数是( )
A．18 B．17 C．16 D．15
答案 B
解析 因为1＋15＝16,2＋14＝16,3＋13＝16,4＋12＝16,5＋11＝16,6＋10＝16,7＋9＝16,8＋8＝16,9＋7＝16,10＋6＝16,11＋5＝16,12＋4＝16,13＋3＝16,14＋2＝16,15＋1＝16,1×16＝16,16×1＝16，集合M中的元素是有序数对(a，b)，所以集合M中的元素共有17个．
16．已知集合A＝，B＝，试问集合A与B有几个相同的元素？并写出由这些相同元素组成的集合．
解 对于集合A，因为x∈N，∈N，
所以当x＝1时，＝1；
当x＝7时，＝3；
当x＝9时，＝9.
所以A＝{1,7,9}，B＝{1,3,9}．
所以集合A与B有2个相同的元素，集合A，B的相同元素组成的集合为{1,9}．
