第二十三讲 比例法
比和比例是传统算术的重要内容，在较早的年代，许多实际问题都是应用比和比例的知识来解答的。近年来，小学数学教材中比和比例的内容虽然简化了，但它仍是小学数学教学的重要内容之一，是升入中学继续学习的必要基础。
用比例法解应用题，实际上就是用解比例的方法解应用题。有许多应用题，用比例法解简单、方便，容易理解。
用比例法解答应用题的关键是：正确判断题中两种相关联的量是成正比例还是成反比例，然后列成比例式或方程来解答。
（一）正比例
两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值（也就是商）一定，这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系。
如果用字母x、y表示两种相关联的量，用k表示比值（一定），正比例的数量关系可以用下面的式子表示：
例1 一个化肥厂4天生产氮肥32吨。照这样计算，这个化肥厂4月份生产氮肥多少吨？（适于六年级程度）
解：因为日产氮肥的吨数一定，所以生产氮肥的吨数与天数成正比例。
设四月份30天生产氮肥x吨，则：
答略。
例2 某工厂要加工1320个零件，前8天加工了320个。照这样计算，其余的零件还要加工几天？（适于六年级程度）
解：因为每一天加工的数量一定，所以加工的数量与天数成正比例。
还需要加工的数量是：
1320-320=1000（个）
设还需要加工x天，则：
例3 一列火车从上海开往天津，行了全程的60％，距离天津还有538千米。这列火车已行了多少千米？（适于六年级程度）
解：火车已行的路程∶剩下的路程=60％∶（1-60％）=3∶2。
设火车已行的路程为x千米。
答略。
米。这时这段公路余下的长度与已修好长度的比是2∶3。这段公路长多少米？（适于六年级程度）
解：余下的长度与已修好长度的比是2∶3，就是说，余下的长度是已
这段公路的长度是：
答略。
（二）反比例
两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量相对应的两个数的积一定，这两种量就叫做成反比例的量，它们的关系叫做反比例关系。
如果用字母x、y表示两种相关联的量，用k表示积（一定），反比例的数量关系可以用下面的式子表达：
x×y=k（一定）
例1 某印刷厂装订一批作业本，每天装订2500本，14天可以完成。如果每天装订2800本，多少天可以完成？（适于六年级程度）
解：由于要装订的本数一定，因此，每天装订的本数与可以装订的天数成反比例。
设x天可以完成，则：
答略。
例2 一项工程，原来计划30人做，18天完成。现在减少了3人，需要多少天完成？（适于六年级程度）
解：工作总量一定，每人的工作效率也是一定的，所以所需要的人数与天数成反比例。
现在减少3人，现在的人数就是：
30-3=27（人）
设需要x天完成，则：
答略。
例3 有一项搬运砖的任务，25个人去做，6小时可以完成任务；如果相同工效的人数增加到30人，搬运完这批砖要减少几小时？（适于六年级程度）
解：题中的总任务和每人的工作效率一定，所以搬运砖的人数与所需要的时间成反比例。
设增加到30人以后，需要x小时完成，则：
6-5=1（小时）
答：增加到30人后，搬运完这批砖要减少1小时。
例4 某地有驻军3600人，储备着吃一年的粮食。经过4个月后，复员若干人。如果余下的粮食可以用10个月，求复员了多少人？（适于六年级程度）
解：按原计划，4个月后余下的粮食可以用：
12-4=8（个月）
因为复员一部分人后，人数少了，所以原来可以用8个月的粮食，现在就可以用10个月。
粮食的数量一定，人数与用粮的时间成反比例。
设余下的粮食供x人吃10个月，则：
答：复员了720人。
（三）按比例分配
按比例分配的应用题可用归一法解，也可用解分数应用题的方法来解。
用归一法解按比例分配应用题的核心是：先求出一份是多少，再求几份是多少。这种方法比解分数应用题的方法容易一些。用解分数应用题的方法解按比例分配问题的关键是：把两个（或几个）部分量之比转化为部分量占总量的（几个部分量之和）几分之几。这种转化稍微难一些。然而学会这种转化对解答某些较难的比例应用题和分数应用题是有益的。
究竟用哪种方法解，要根据题目的不同，灵活采用不同的方法。
有些应用题叙述的数量关系不是以比或比例的形式出现的，如果我们用按比例分配的方法解这样的题，要先把有关数量关系转化为比或比例的关系。
1.按正比例分配
甲、乙、丙三个数的连比是：
4 5 8=17
答略。
例2 有甲、乙、丙三堆煤，甲堆比乙堆多12.5％，乙堆比丙堆少
解：因为甲堆比乙堆多12.5％，所以要把乙堆看作“1”，这样甲堆就是（1 12.5％）。
甲∶乙=（1 12.5％）∶1=9∶8
甲∶乙∶丙=9∶8∶10
已知甲堆比丙堆少6吨，这6吨所对应的份数是1，所以，甲堆煤的吨数是：
6×9=54（吨）
乙堆煤的吨数是：
6×8=48（吨）
丙堆煤的吨数是：
6×10=60（吨）
答略。
2.按反比例分配
*例1 某人骑自行车往返于甲、乙两地用了10小时，去时每小时行12千米，返回时每小时行8千米。求甲、乙两地相距多少千米？（适于六年级程度）
解：此人往返的速度比是：
12∶8=3∶2
因为在距离一定的情况下，时间与速度成反比例，所以，由此人往返的速度比是3∶2，可推出此人往返所用的时间比是2∶3。
去时用的时间是：
两地之间的距离：
12×4=48（千米）
答略。
*例2 一个文艺演出队去少数民族地区慰问演出，路上共用了110个小
这也是骑马、乘轮船、坐火车的时间比。
将110小时按8∶2∶1的比例分配。
骑马的时间是：
坐火车的时间是：
答略。
3.按混合比例分配
把价格不同、数量不等的同类物品相混合，已知各物品的单价及混合后的平均价（或总价和总数量），求混合量的应用题叫做混合比例应用题。混合比例应用题在实际生活中有广泛的应用。
*例1 红辣椒每500克3角钱，青辣椒每500克2角1分钱。现将红辣椒与青辣椒混合，每500克2角5分钱。问应按怎样的比例混合，菜店和顾客才都不会吃亏？（适于六年级程度）
解：列出表23-1。
表23-1
表中，价格一栏是根据题意填的，其他栏目是在分析题的过程中填的。
混合后的辣椒是每500克卖2角5分钱，而混合辣椒中红、青两种辣椒的比不能是1∶1，因为在混合后的辣椒中每有500克红辣椒，红辣椒就要少卖5分钱，所以应算是每500克红辣椒损失了5分钱，在“损”一栏中，横对红辣椒和3角，填上5分；又因为在混合后的辣椒中每有500克青辣椒，青辣椒就要多卖4分钱，所以应算是每500克青辣椒多卖了（益）4分钱，在“益”一栏中，横对青辣椒和2角1分，填上4分。
5与4的最小公倍数是20。
20÷5＝4，20÷4＝5，
只有在混合的辣椒中，有4份的红辣椒，5份的青辣椒，500克混合后的辣椒正好卖2角5分钱。
4份的红辣椒是4个500克，它的价钱是，
0.3×4=1.2（元）
5份的青辣椒是5个500克，它的价钱是，
0.21×5=1.05（元）
4份红辣椒与5份青辣椒的总价是，
1.2 1.05=2.25（元）
而9个500克的混合辣椒的总价是，
0.25×9=2.25（元）
9份（9个500克）红辣椒和青辣椒的总价正好与9个500克混合辣椒的总价相等。
所以在混合的辣椒中，红辣椒与青辣椒的比应是4∶5。这个比正好是益损两数比的反比。
答略。
*例2 王老师买甲、乙两种铅笔共20支，共用4元5角钱。甲种铅笔每支3角，乙种铅笔每支2角。两种铅笔各买多少支？（适于六年级程度）
解：20支铅笔的平均价格是：
4.5÷20=0.225（元）=2.25（角）
列出表23-2。
表23-2
因为甲种铅笔每支3角，而平均价格是每支2.25角，所以每支甲种铅笔损失了0.75角钱。在表中“损”一栏横对“甲”填上0.75角/支；因为乙种铅笔每支2角，而平均价格是每支2.25角，所以每支乙种铅笔是增加（益）了0.25角。在表中“益”一栏横对“乙”填上0.25角/支。
两种铅笔的混合比，正好是损、益两数比的反比，所以在混合比一栏中，横对甲填0.25，而横对乙填0.75。把0.25和0.75化简后得1和3。
现在可以认为两种铅笔的总份数是：
1 3=4（份）
甲种铅笔的支数是：
乙种铅笔的支数是：
答略。
（四）连比
如果甲数量与乙数量的比是a∶b，乙数量与丙数量的比是b∶c，那么表示甲、乙、丙三个数量的比可以写作a∶b∶c，a∶b∶c就叫做甲、乙、丙三个数量的连比。
注意：“比”中的比号相当于除号，也相当于分数线，而“连比”中的比号却不是相当于除号、分数线。
*例1 已知甲数和乙数的比是5∶6，丙数和乙数的比是7∶8，求这三个数的连比。（适于六年级程度）
解：已知甲、乙两数的比是5∶6，丙数与乙数之比为7∶8，即乙数与丙数之比为8∶7。第一个比的后项是6，第二个比的前项为8，这说明甲、丙两个数不是以相同标准划分的，甲、乙、丙三个数不能直接写成连比。
用下面的方法可以统一甲、丙的标准，把甲、乙、丙三个数写成连比。把5扩大8倍，得40；把6扩大8倍，得48。把6扩大8倍得48，也就是把8扩大6倍，得48，所以也要把7扩大6倍得42。
甲、乙、丙三个数的连比是：4O∶
48∶42=20∶24∶21。
答略。
*例2
甲、乙、丙三堆煤共重1480吨，已知甲堆煤重量的
又根据，甲∶乙=3∶2，乙∶丙=5∶6，可求出甲、乙、丙三个数的连比是：
甲∶乙∶丙=15∶10∶12
把1480吨煤按15∶10∶12的比例分配。
甲堆煤重：
乙堆煤重：
答略。
答略。
