人教版七年级下册【实数】一章中的无理数，大部分孩子在初次接触“算术平方根、平方根、根号、立方根”是非常懵圈的，初中数学成绩就此慢慢拉开。究其原因，我认为是学生们对突然出现的这些新名词很陌生，没有熟悉的知识相承接，单靠定义去衔接和认识是有难度的，因为定义本就拗口，稀里糊涂地被强塞记忆并应用，脑子里的知识就开始混战了，头脑风暴还得不出正确答案，恼人……
在学到这个章节时，如果老师能反复灌输以下观点，我想那必是好的，至少能帮助到甚至说挽救那些想要把这个知识学好的孩子。
首先得强调，这个根号是运算符号，就类似加减乘除号一样，七年级上册已学习了两个新的运算符号是“绝对值”（下一篇会再展开讲讲）、乘方。类比学习，乘法和除法，小学阶段，我们是先学习并背诵了乘法口诀表，后面才学习表内除法，在乘除法的计算中，核心都是我们对乘法口诀表的记忆（上一篇文章已有详细说明），它们是互逆运算。这个“根号”（即开方）就是我们学习过的运算里面的一个逆运算☞乘方的逆运算，所以归根到底，该计算重点核心还是得靠背诵记忆！初中对于根号的学习难度算是仁慈的，因为它只需我们背诵记忆乘方里的平方和立方运算，其他高次幂不涉及。
所以接下来，同学们又得回到熟悉的乘法口诀表里去，同时还得整理 拓展，我们得加强记忆的是“一一得一、二二得四、三三得九、四四十六、五五二十五、六六三十六、七七四十九、八八六十四、九九八十一”，得拓展的是“0²=0、10²=100、11²=121、12²=144、13²=169、14²=196、15²=225、16²=256、17²=289、18²=324、19²=361、20²=400，45²=2025；
0³=0、1³=1、2³=8、3³=27、4³=64、5³=125、6³=216、7³=343、8³=512、9³=729、10³=1000” 这些是练习和考试中最常用到的，其中45²=2025这个得数是跟年份（如今年2023年）相近的平方数，常用在规律题，属于难题。拓展部分建议同学们能背诵记忆的最好熟悉熟练记忆，学过速算的同学应该能快速拿下；实在记不住、记不牢还是有救的，列竖式（平方→相同的两个数相乘或立方→相同的三个数相乘）出来自己算一算就行，如果列竖式计算平方和立方都出错，那看来初中数学是与你无缘了。
明确了根号（开方）和乘方是互逆运算，同时熟记了常用的平方数、立方数，那么再往后的学习就是靠这个记忆力了，这里还有一个难度升级，万万是不能遗漏的，就是七年级上册学习过的“正负数的平方、立方”，注意结果的正负！所以上面提到的平方数、立方数需再拓展记忆（这个记忆难度并不大，但是前期的学习如果没有强调到位的话，学生的记忆里总会忽略负数的情况，毕竟他们跟负数相处时间不长，感情还没有培养到位）：（±0）²=0、（±1）²=1……（±20）²=400；（±0）³=0、（±1）³=±1……（±10）³=±1000，学生在记忆背诵时切记得反复强调正负一起记！！
接下来我们正式学习“平方根、算术平方根、立方根”。
【第一类】
x²=4，我们可以读作：谁的平方等于4，脑中回忆，背没背过平方数是4的，背过☞±2，所以方程的解为x＝±2。注意，这里得再次强调，这个结果是背诵记忆得出来的，并不是我们新学习的运算，我们只是学习新的运算符号去表达这个“求解”过程（类似“做做样子”告诉卷面，我们“会算”，仅此而已）☞解：x=±√4，x=±2。背过的平方数用到新符号（根号√）时，我们就说开方开得尽，所以结果不保留根号。理解为：4的平方根是±2，2是4的平方根（之一），–2是4的平方根（之一），±2是4的平方根。
x²=5，我们可以读作：谁的平方等于5，头脑风暴，没谁的平方等于5呀，不用怀疑，你的记忆没有错，背诵记忆里面就没有，但是注意哦，背诵里没有，并不意味着它无解，现在我们要学习的新内容就是这类，没有记忆背诵到的平方数（即开方开不尽）！我们有统一的书写格式，所以没有记忆背诵到的平方数（一定是非负数）才是简单的，这个格式就是新学习到的运算符号“±√”（平方根）☞解：x=±√5，即5的平方根是±√5，√5是5的平方根（之一），–√5是5的平方根（之一），±√5是5的平方根。
而在后面的学习中，我们常用到的是正的平方根，所以数学家们又给它起了一个独立的名称，叫“算术平方根”（可以理解为，这个正的平方根多用于算术，所以起了这样一个名称），负的平方根在后面的学习中涉略不多，没有这个特殊待遇。这样我们就得出运算符号“±√”是求平方根，“√”是求算术平方根；反之，求一个非负数的平方根，我们用“±√”这个符号，求一个非负数的算术平方根，我们用“√”这个符号。负数没有平方根和算术平方根，因为没有任何数的平方等于负数！正数的平方根有两个，算术平方根（正的那个平方根）永远都是一个。规定0的平方根和算术平方根只有0。
x³=–64，谁的立方等于负六十四，检索记忆，得出是–4，所以☞解：x=³√–64，x=–4，即–64的立方根是–4，–4是–64的立方根。新的运算符号“³√”立方根，正数、负数、0都有立方根，且都只有一个。
【第二类】判断语句的正误
（2）错，正数的平方根有两个（一正一负）；（3）前半句就错，负数没有平方根。（1）正确
（4）说反了，（±0.01）²=0.0001，所以0.01是0.0001的一个平方根，而（±0.1）²=0.01，所以可以说0.1是0.01的一个平方根。由此我们可以看出，并不是说“根”一定比平方数大！切记不要用比较大小的方法去记忆谁是根谁是平方数！
（1）（2）（4）正确；
（3）谁的平方根未明确，所以得先算出（-4）²，明确题目所问的是谁，题目问的是16的平方根，这才启动记忆，是否背过平方数16：正负四的平方是16，所以16的平方根是±4.
（1）（3）（4）正确
（2）错，任何数的立方根只有一个。（4）谁的立方根也没有明确，所以得先算出（﹣4）³=﹣64，得出题目问的是﹣64的立方根，启动记忆，谁的立方等于﹣64，答案﹣4.
【第三类】
9的平方根是___ 9的算术平方根是___
5的平方根是___ 5的算术平方根是___
8的立方根是___ –64的立方根是___
9的立方根是___
___的平方根是±4，___的平方根是±√2
___的算术平方根是9
___的立方根是–8
√5是___的平方根，–3是___的平方根
5是___的立方根，–8是___的立方根
【第四类】最坏的出题老师，可喜欢在你快遗忘时出考题
√4的平方根是___ 2³是___的立方根
（这类题是隐藏的双重问题，首先得解决题目问的是谁。如√4是谁？得先解决这个问题，背得熟练的话，它是求4的算术平方根，是2，所以第一题问的是2的平方根，用±√去求。第二题同理，问的是2³=8，再正式回到问题：8是谁的立方根，8³=512，所以8是512的立方根）
今天暂时到这里，本节重点就是认识到“√”是开方运算符号，逆运算是乘方，把2个或3个相同因数的乘积背诵熟练（记得正负数一起背，背好后再温习：常见的平方数、立方数有哪些）再来理解这个“平方根☞算术平方根、立方根”。一旦理解开来，实数这章及八下的二次根式章节就似开挂一样，学得起飞，关键就是背诵记忆，再low的就是要会列竖式笔算！
