《测绘学报》
构建与学术的桥梁 拉近与权威的距离
近区地形直接与间接影响的棱柱模型算法
马健1,2,3
1. 地理信息工程国家重点实验室, 陕西 西安 710054;
2. 信息工程大学地理空间信息学院, 河南 郑州 450001;
3. 西安测绘研究所, 陕西 西安 710054
收稿日期：2017-06-29；修回日期：2018-02-01
基金项目：国家自然科学基金（41674025；41674082）；地理信息工程国家重点实验室开放研究基金（SKLGIE2016-M-1-5；SKLGIE2016-M-3-2）
第一作者简介：马健(1988-), 女, 博士, 研究方向为物理大地测量。E-mail:majian_19881006@163.com
摘要：基于Helmert第二压缩法进行边值解算时需要计算地形压缩对重力的直接影响和对（似）大地水准面的间接影响。计算近区直接、间接影响的传统积分算法仍是二重积分形式。该算法以网格中心点处的积分核作为网格积分核的平均值的计算模式在一定程度上引入了近似误差。另外，直接、间接影响的传统积分算法在中央区存在奇异性，需单独计算中央网格地形影响，因而增加了计算的复杂性。为此，本文推导了近区地形直接、间接影响的棱柱模型公式，一方面提高了地形影响的计算精度；另一方面中央区不存在奇异性，从而简化了计算过程。为避免棱柱模型存在的平面近似误差，可使用顾及地球曲率的棱柱模型算法计算地形影响。最后通过试验得出结论，在（似）大地水准面精度要求较高的应用中，应尽量使用顾及地球曲率的棱柱模型算法计算地形影响。
Prism Algorithms for the Near-zone Direct and Indirect Topographic Effects
MA Jian1,2,3, WEI Ziqing1,3
Abstract: It is necessary to calculate the direct effect on gravity and the indirect effects on the geoid and quasi-geoid when reducing the topography based on Helmert's second condensation method for solving boundary value problems. The traditional integration algorithms for the near-zone direct and indirect topographic effects arein the double integral form and give some approximate errors when taking the integral kernel at the center of the grid as the average of the grid integral kernel. Furthermore, the traditional integral algorithms for the direct and indirect effects have singularity in the innermost area, which increases the computational complexity. In this paper, the prism formulae of the near-zone direct and indirect effects are deduced, which improves the calculation accuracy on the one hand and simplifies the computation process by removing the singularity in the innermost area on the other hand. To overcome the planar approximation error of the prism models, the curvature of the earth can be taken into account. Finally, experimental results show that the prism algorithm for the topographic effect considering the earth's curvature is recommended when a high-accuracy geoid/quasi-geoid is required.
Key words: near-zone direct effect near-zone indirect effect Helmert's second condensation method innermost-zone singularity prism algorithms considering the earth's curvature
应用Stokes/Hotine边值理论解算(似)大地水准面时要求边界面外不存在地形质量[1-2]，对此可通过Helmert第二压缩法将边界面外的地形压缩成覆盖在边界面上的质量薄层，由此产生了Stokes-Helmert大地边值理论[3]并逐步应用到实践中[4-7]。按照Helmert第二压缩法进行地形压缩时，地形质量的移动对重力产生直接影响，对大地水准面起伏/高程异常产生间接影响。在基于Helmert第二压缩法的边值问题中，直接影响将重力数据从真实空间转化到Helmert空间，而间接影响将Stokes/Hotine积分得到的Helmert高程异常/大地水准面高从Helmert空间恢复到真实空间。由于直接、间接影响直接参与(似)大地水准面解算，因此提高直接、间接影响的计算精度对于生成高精度的(似)大地水准面有着重要意义。
目前国外对地形直接、间接影响算法的研究相对较多，其中，文献[8-9]给出了地形直接、间接影响的球谐表达式，文献[10-11]提出综合严格积分方法和球谐方法计算地形影响的算法。国内在解算大地水准面中地形的研究主要为局部地形改正[12-16]、层间改正算法[17]等方面，对Helmert压缩理论中地形直接、间接影响研究相对较少。随着国内专家学者对基于Helmert第二压缩法的边值解算的应用与研究[4, 18]的深化，对地形直接、间接影响展开研究是非常有必要的。
为了兼顾计算精度和计算效率，近区地形影响通常采用积分算法计算，远区则使用Molodensky截断理论或FFT技术结合高程球谐模型计算[19-21]。本文主要研究近区地形影响的计算。目前使用的地形直接、间接影响算法仍是二重积分形式，该算法在中央区(与计算点位于同一地心向径的积分点所在的地形格网，也可称为中央网格)存在奇异性。实践中通常采用圆柱近似或借助球面布格层等方法单独计算中央区地形影响[22]，增大了计算的复杂性。
目前地形质量产生的引力位和引力的棱柱模型算法已经比较成熟[23-24]，而局部地形改正的棱柱算法在实践中已经获得广泛应用[14]，但尚未出现关于地形直接、间接影响的棱柱模型算法的研究。根据定义，地形改正是计算点周围地形起伏对计算点产生的引力作用，而地形直接、间接影响是边界面外地形压缩到边界面上产生的引力和引力位，其本质均是地形质量(及其压缩形式的变体)产生的引力位的函数[25]，因此理论上应可得到直接、间接影响的棱柱模型算法。鉴于此，本文通过一系列推导给出了近区地形直接、间接影响的棱柱模型公式。为了避免棱柱模型算法本身存在平面近似误差，可进一步根据文献[24]提出的方法方便地转化为顾及地球曲率的棱柱模型算法。地形影响的棱柱模型算法不仅提高了地形影响的计算精度，而且在中央区不存在奇异性，无需单独计算中央区地形影响，从而使地形影响传统的“中央区影响 近区影响 远区影响”计算模式转变为“近区影响 远区影响”计算模式。
1 地形影响的传统积分公式
使用Helmert第二压缩法进行地形压缩时，需依据一定的压缩准则。本文采用质量守恒的压缩准则，即在球近似下压缩面密度σ与积分网格的地形高度h的关系为[26]
(1)
式中，ρ为地形密度；R为地球平均半径。将大地水准面外真实地形产生的引力位表示为Vt，压缩地形产生的引力位表示为Vc，其算法分别为
(2)
式中，G为引力常数；Ω0代表全球积分区域；r为积分点的地心向径；rP为计算点的地心向径；地心距
