漫谈自然数的倒数和
自然数的倒数和,从吃货开始:
1.小明爱吃火腿肠,假设每天他有一根火腿肠,第一天他独享一根火腿肠,但从第二天开始,以后的每天他都会多一个朋友和他分享, 若每天按人数均分火腿肠请问他在以后的日子里,累计吃到的火腿肠会有10根之多吗?
到底能不能达到呢?乍一看是不行,因为小明平分到的火腿肠越来越少,最后趋近于0,怎么会达到10根呢?你觉得呢?是不是达到两根都悬?
好吧,我们来分析一下:
达到两根还是容易呢!因为小明第一天就吃了一根了,第二天会有半根,第三天会有1/3根,第四天会有1/4根,你看这时他吃了多少?
1 1/2 1/3 1/4=25/12,是不是大于2了?
那么他能不能吃到的总和多于3块呢?
如果一个数一个数地往后硬算,会很麻烦是不是?那么怎么来解决这个问题呢?事实上,数学家的思维不是一个个地累加,而是用估计的方式来完成就行了:
1 1/2 1/3 1/4 1/5 1/6 1/7 1/8 … 1/16=1 (1/2) (1/3 1/4) (1/5 1/6 1/7 1/8) (1/9 1/10 … 1/16)
>1 (1/2) (1/4)×2 (1/8)×4 (1/16)×8=3,
也就是说,至多到第16天,小明累计吃到的火腿肠就会超过3根.
那么按此算法,小明累计吃到了10根火腿肠的天数就不难得出:
把原数列的和:
1 1/2 1/3 1/4 1/5 1/6 1/7 1/8 …
其项数由结合律进行分组:1 1 2 4 8 16 … m,则必有
1 1/2 1/3 1/4 1/5 1/6 1/7 1/8 …>1 m/2,
要求1 M/2>10,只要m>18,即可,那就是说要达18个括号分组,那究竟至多是第几项呢?
这样来算:
=524 288,
哇!50万项之后呢?实际上,也可以对2的19次方进行如下估计:
