怎么证明五角星中存在黄金分割数,五角星黄金分割比例

首页 > 政策法规 > 作者:YD1662024-01-27 14:23:59

一,八年级上册数学课本上例题。

如图,在△ABC中,AB=AC,点D在AC上,且BD=BC=AD。求△ABC各角的度数。

解:解答数学题的一般步骤,设未知数、列等式、解方程。

∵AB=AC,BD=BC=AD,

∴∠ABC=∠C=∠BDC,∠A=∠ABD(等边对等角)。

设∠A=x,则∠BDC=∠A ∠ABD=2x,从而,∠ABC=∠C=∠BDC=2x。

于是在△ABC中,有

∠A ∠ABC ∠C=x 2x 2x=180°,解得x=36°,

所以,在△ABC中,∠A=36°,∠ABC=∠C=72°

评:这题好像没什么特别,是吧?但有没想到这三角形是很美很特别的三角形?角的度数很巧妙,BC/AB=DC/AD,这比值又是黄金比例。

怎么证明五角星中存在黄金分割数,五角星黄金分割比例(1)

二,黄金分割数

我们常说一个人的身材比例很完美,大概符合,上身(腰以上)与下身的高度比,等于下身与全身的高度比。这个高度比是多少?

把问题一般化,如图,在线段AB上找一个点C,把AB分成AC和CB两段,其中AC为较小的一段,现要使AC∶CB=CB∶AB。

为简单起见,设AB=1,CB=x,则AC=1-x。

代入AC∶CB=CB∶AB,

即(1-x)∶x=x∶1,

也即x² x-1=0。解方程,得x=(-1±√5)/2。

根据问题的实际意义,这比值是正数,取x=(-1 √5)/2≈0.618,这个值就是上面问题中所求的高度比,即黄金分割数

如果把一条线段分为两部分,使其中较长的一段与整个线段的比是黄金分割数,那么较短的一段与较长的一段的比也是黄金分割数。

怎么证明五角星中存在黄金分割数,五角星黄金分割比例(2)

黄金比例

三,在正五角星中存在黄金分割数,

可以证明其中,

MN/NB=BN/BM=BM/BE=MN/AN=(-1 √5)/2,

容易证明五边形MNIKJ为正五边形,∠A=36°,△ANM与上文中的△ABC相似,足见正五角星的完美。

怎么证明五角星中存在黄金分割数,五角星黄金分割比例(3)

正五角星

四,求sin18°的值。

在初中数学知识范围内,要求求解三角函数值的,一般都是特殊角,30°、45°、60°,如sin30°=1/2,怎么求解sin18°呢?

显然,可以利用上文△ABC或正五角星中出现的36°,

在△ABC中,过点A做BC的垂线,交BC于点F,BC/AB=黄金分割数,

则假设BC=-1 √5,AB=2,

则BF=(-1 √5)/2,

sin∠BAF=sin18°=BF/AB=(-1 √5)/4。

怎么证明五角星中存在黄金分割数,五角星黄金分割比例(4)

求sin18°

五,按尺规作图要求,作正五角星。

提示:勾股定理,作√5;再参考上文内容,黄金比例数。

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