奇函数加减一个常数是奇函数吗,偶函数加常数是奇函数吗

首页 > 教育 > 作者:YD1662022-10-31 15:57:56

一、奇函数定义:一般地,对于函数f(x),如果对于函数定义域内任意一个x,都有

f(-x)=-f(x),那么函数f(x)就叫做奇函数。

结论:①f(-x)=-f(x),

奇函数图像关于原点对称

奇函数定义域关于原点对称

②奇函数f(x)在x=0处有意义时(即定义域包含0时),有f(0)=0

③奇函数f(x)的最大值与最小值之和为0。

④常见奇函数:

⑤重要结论:已知函数g(x)为奇函数,a为常数,

f(x)=g(x) a,则有

M m=f(x) f(-x)=f(x₀) f(-x₀)=2a=2f(0)

其中M表示最大值,m表示最小值

二、偶函数

定义:一般地,对于函数f(x),如果对于函数定义域内任意一个x,都有

f(-x)=f(x),那么函数f(x)就叫做偶函数。

结论:①f(-x)=f(x)=f(l x丨)

偶函数图像关于y轴对称

偶函数定义域关于原点对称

②定义域关于原点对称的非零常函数是偶函数。

③若f(x)=ax² bx c(a≠0)为偶函数,则b=0

④重要结论:

Ⅰ已知偶函数f(x)在[0, ∝)上单调递增,且f(x₁)>f(x₂),则有|x₁|>|x₂|

Ⅱ已知偶函数f(x)在[0, ∝)上单调递减,且f(x₁)>f(x₂),则有|x₁|<|x₂|

三、奇、偶结论

①在公共对称定义域内:两个奇函数之和为奇函数,其积为偶函数;两个偶函数之和与积都为偶函数;奇函数与偶函数之积为奇函数。奇函数的偶数个积、商是偶函数;奇函数的奇数个积、商是奇函数。奇函数的绝对值为偶函数;偶函数的绝对值为偶函数。

即 奇±奇=奇,偶±偶=偶,奇×奇=偶,

偶×偶=偶,奇×偶=倚

|奇|=偶, |偶|=偶

②y=f(x)=0既是奇函数又是偶函数

③若f(x)是奇函数,则f'(x)是偶函数

若f(x)是偶函数,则f'(x)是奇函数

④奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性;偶函数在对称的单调区间内有相反的单调性。

即函数f(x)为[-a,a]上的奇(偶)函数,且f(x)在[0,a]上单增(减),则f(x)在[-a,0]上单增(减)。

四、运用奇函数重要结论解题

由此可见:遇见此类题目(题目给你一个复杂的,长得像奇函数的函数,实质上却是奇函数 常数的形式),运用2f(0)解题是最直接最简单便捷的方法

五、运用偶函数重要结论解题

函数与偶函数的这两个重要结论,高考考过多次,平常的考试与习题也经常遇见。

因此,请牢记结论,一起进步,加油!

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