我们都知道以下两个结论：
①0的任何正数次幂都等于0：0^x=0，x＞0
②任何非0实数的0次幂都等于1：x^0=1，x≠0
今天我们来讨论一个争论已久的问题，0的0次幂到底等于多少？
0^0=?
从表面上来看，如果0^0=0，就会与x^0=1矛盾；如果0^0=1，就会与0^x=0矛盾。看上去无论将0^0定义成0还是1，都不是很恰当。
于是有人提出0^0就和分母为0一样，是无意义的。理由如下：
0^0=0^(1-1)=0^1/0^1=0/0
此时会出现分母为0，所以0^0无意义。
看上去似乎有些道理，但这样的解释显然不能让人信服，我们完全可以类似地来理解0^1。
0^1=0^(2-1)=0^2/0^1=0/0
按照之前的解释，同样会出现分母为0，那么0^1也是无意义的，这与我们公认的0^1=0显然是矛盾的。
我们必须转换思路。我们很容易想到利用极限来理解这个问题，0^0可以看作函数f(x)=x^x，当x趋于0 的极限值。我们先用计算器来算一下：
0.1^0.1=0.794……
0.01^0.01=0.954……
0.001^0.001=0.993……
0.0001^0.0001=0.999……
…………
可以明显感觉到，当x→0 时，x^x→1。其实这个结论是可以严格证明的。
求证：lim(x^x)=1，x→0
证明：
lim[ln(x^x)]=lim[x×ln(x)]=lim[ln(x)/(1/x)]，x→0
当x→0 时，ln(x)→-∞，1/x→ ∞
此极限为"-∞/ ∞"型的未定式，根据洛必达法则
lim[ln(x^x)]=lim[ln(x)/(1/x)]=lim[ln′(x)/(1/x)′]，x→0
=lim[(1/x)/(-1/x^2)]=lim(-x)，x→0
=-0=0=ln1，x→0
lim[ln(x^x)]=ln1=0，x→0
lim(x^x)=1，x→0
证毕！
到这里，问题似乎得到了圆满的解决，0^0=1，而且计算器也是这样显示的。
