数学培优——几何最值问题的解法
在运动中求几何量最大值或最小值的问题是各类考试中常见的问题，如何解决这类问题呢？下面介绍几种解法：
一、利用图形的直观性
例1 如图1，将两张长为4，宽为L的矩形纸条交叉并旋转，使重叠部分成为一个菱形．旋转过程中，当两张纸条垂直时，菱形周长的最小值是4，那么菱形周长的最大值是____ ．
分析与解：要使菱形的周长最大，只需要使边长最大，因此，应最大限度利用矩形的长．从图形的直观性不难发现：当菱形的两个对角的顶点分别与矩形两个对角的顶点重合时，就是最大限度地利用了矩形的长，所得菱形的边长最大．此时易知图1－2中，
△ABC≌△EDC，所以AC＝CD，BC＝CE．
设BC＝x，则在RT△ABC中，AC＝AE－CE＝4－x，
根据勾股定理得：x²＝(4－x)²＋1，
解得x＝17/8，
所以菱形周长的最大值为4×17/8＝17/2．
友情提示：几何的最大特征与优点是直观，图形的直观性在解题中十分重要，细致观察图形，想象在运动变化中图形可能出现的情形往往能使问题的解决从“山穷水尽疑无路”困境中浮出，从而走向“柳暗花明又一村”，找到或者发现问题解决的契机与灵感．
二、利用两点之间线段最短
例2 如图2，四边形ABCD中，∠BAD＝120°，∠B＝∠D＝90°，在BC、CD上分别找一个点M、N，使△AMN周长最小时，则∠AMN＋∠ANM的度数为（ ）
A．130° B．120° C．110° D．100°
分析与解：欲求∠AMN＋∠ANM的度数，关键在于确定点M、N的位置．
由于M、N的位置使得△AMN周长最小，
即MA＋MN＋NA最小，
分别作点A关于BC的对称点E，点A关于CD的对称点F，
连接EF分别交BC于M，交CD于N．
则MA＝ME，NA＝NF，
从而△AMN的周长＝MA＋MN＋NA＝ME＋MN＋NF，
问题转化为：分别在BC、CD上确定点M、N，
使得ME＋MN＋NF最小．
由于E、F是定点，当M、N都在直线E、F上时，
ME＋MN＋NF＝EF为最小，
因此，连接EF，分别交BC、CD于M、N，
这就是M、N的位置．
此时，∠MAE＝∠E，∠NAF＝∠F，
所以∠AMN＝2∠E，∠ANM＝2∠F，
所以∠AMN＋∠ANM＝2（∠E＋∠F）
＝2（180°－∠BAD）
＝2（180°－120°）＝120°．
选B．
友情提示：分别在直线L1、L2上求一点P、Q，使得以P、Q和定点A为顶点的△APQ的周长PA＋QA＋PQ最小，其做法是：寻找或作出点A关于直线L1和L2的对称点A1和A2，连接A1A2，分别交直线L1、L2于点P、Q，则点P、Q就是所求作的点．
例3 如图3，∠MON＝90°，矩形ABCD的顶点A、B分别在边OM，ON上，当B在边ON上运动时，A随之在OM上运动，矩形ABCD的形状保持不变，其中AB＝2，BC＝1，运动过程中，点D到点O的最大距离为_______.
