问题3：类似问题2的探索．如图/6-4，过Q作L⊥BC，垂足为H．
则L∥AB．设PQ与DC相交于点G．
仿照问题2可得∠ADP＝∠QCH，
所以RT△ADP∽RT△HCQ，
所以AD /GH=PD/CQ=1/2，
所以CH＝2，
所以L是定直线，BH＝BC＋CH＝3＋2＝5，
可见，点P、Q分别在距离为5个单位的两条平行线上运动，
所以当PQ⊥AB时，PQ的长最小，为5；
问题4：仿照问题3的探索，易知PQ存在最小值，最小值为√2(n＋4)/2．
友情提示：平行距离指的是平行线之间的距离，该距离是分别在两平行线上的动点之间距离的最小值．
五、利用二次函数的最值
例7 如图7，在平行四边形ABCD中，AB＝5，BC＝10，F为AD的中点，CE⊥AB于点E，设∠ABC＝α（60°≤α＜90°）．
（1）当＝60°时，求CE的长；
（2）当60°＜α＜90°时，
①是否存在正整数k，使得∠EFD＝k∠AEF？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由；
②连接CF，当CE2－CF2取最大值时，求tan∠DCF的值．
分析与解：（1）因为△BCE是直角三角形，且α＝60°，BC＝10，
故由勾股定理和三角函数立得BE＝BC/2＝5，
从而CE＝√(102-52)＝5√3；
（2）先设存在正整数k，使得∠EFD＝k∠AEF，再探索求k的值．
既然∠EFD是∠AEF的整数倍，先从∠EFD中割分出一个与∠AEF相等的角，
因此，作FM∥AB交BC于M，交CE于N，
则∠1＝∠AEF．
因为四边形ABCD是平行四边形，
所以四边形ABMF是平行四边形，
所以BM＝AF＝5，从而MC＝FD＝5，
四边形MCDF是平行四边形，又DF＝DC，
所以四边形FMCD为菱形．
连接CF．则∠2＝∠3；
因为CE⊥AB，FM∥AB，M为BC的中点，
所以FM为EC的垂直平分线，
所以EF＝FC，∠2＝∠1，
所以∠EFD＝3∠1．
又∠AEF＝∠1，
所以∠EFD＝3∠AEF，故k＝3；
②欲求tan∠DCF的值，由于∠DCF ＝∠2，所以关键确定当CE2－CF2取最大值时，CN、FN的值．因此，问题转化为CN或FN究竟为何时，CE2－CF2取最大值？为解决这个问题，考虑建立CE2－CF2关于某个变量为自变量的二次函数，再由二次函数的最值确定自变量的值．
因为MN为△CEB的中位线，
所以BE＝2MN．设MN＝x，
则BE＝2 x，FN＝5－x；
在Rt△EBC中，
CE2＝BC2-BE2＝100－4x2；
在Rt△FNC中，
CF2＝FN2＋NC2＝(5-x)2＋25－x2＝50－10x．
所以CE2－CF2＝（100－4x2）－（50－10x）
＝－4x2＋10x＋50＝－4(x-5/4)2＋225/4，
故当CE2－CF2取最大值时，x＝5/4，
所以CN=√[25-(5/4)2]=5√15/4，
FN＝5－5/4＝15/4，
所以tan∠FCD＝TAN∠2＝5√15/4÷15/4＝√15/3．
友情提示：二次函数取最大值或最小值时，自变量的取值是唯一确定的，因此，由函数取最大值或最小值的情形同样可以确定自变量所对应的值．
