分析与解：显然，A、B、C、D都是动点，直接考虑DO的长与已知矩形ABCD的边长的关系是不可能的．
由于矩形在运动过程中形状不变，所以AB总是等于2，
注意到∠AOB＝90°，故AB的中点到O的距离总是等于AB/2＝1，
因此，取AB的中点E，连结OE、DE、OD，
则OE＝1（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半），
由勾股定理，得DE＝√2，
从而DE＋EO＝√2＋1．
由于当D、E、O三点不在同一直线上时，总有DO＜DE＋OE，
故当D、E、O三点共线时，
OD＝OE＋DE为最大，等于√2＋1．
因此，当矩形运动到点D、AB的中点E和点O三点共线时，
点D到点O的距离最大，为√2＋1．
友情提示：对于任意三点A、B、C，总有AB≤BC＋CA，当A、B、C三点共线时，等号成立，AB取最大值．求动点到定点距离最大值问题往往就是根据这个原理．
三、利用垂线段最短
例4 以边长为2的正方形的中心O为端点，引两条相互垂直的射线，分别与正方形的边交于A、B两点，则线段AB的最小值是________．
分析与解：根据题意画出如图4，由题意，点A、B都是动点，
由勾股定理，得AB＝√(OA2 OB2)，
能否进一步转化呢？
考虑已知条件，由四边形CDEF为正方形，得
OC＝OD，∠OCA＝∠ODB＝45°，∠COD＝90°，
由∠AOB＝90°，得∠COA＝∠DOB，
所以△COA≌△DOB，
所以OA＝OB，△AOB为等腰直角三角形，
故可将AB进一步转化为AB＝√2OA，
问题转化为确定点A的位置，使得OA最小．
由于O是定点，A在定直线CD上，
所以当OA垂直于CD时，垂足就是点A的位置．
因此，作OA⊥CD于A，此时OA＝1，
从而AB＝√2，故线段AB的最小值为√2．
友情提示：直线上的动点到定点的距离最小值是该定点到该直线的垂线段长．
例5 如图5，正方形ABCD中，AB=1，P是AC上的动点，则PA PB PD的最小值是__________.
分析与解：显然，PB=PD，
所以PA PB PD
=PA 2PD=2(PA/2 PD)，
接下来设法将PA/2转化为一条新的线段.作∠CAE=30°，CE交BC于E，作PF⊥AE于F.
则PF=PA/2，于是
PA PB PD =2(PF PD)≥2DF.
所以当DF⊥AE时，PA PB PD=2DF最小.
在RT△ADF中，∠DFA=90°，∠DAF=75°，AD=1，
由sin75°=sin(30° 45°)
=sin30°cos45° cos30°sin45°
=(√2 √3)/4，
所以DF=ADsin75°=(√2 √3)/4.
友情提示：几何中的ax y（a为常数，x，y为图中的动线段）最小值问题的解法，关键在于寻找与ax相等的线段z，将问题转化为z y最小值问题.
四、利用平行距离最小
例6 已知梯形ABCD，AD∥BC，AB⊥BC，AD＝1，AB＝2，BC＝3.
问题1：如图6-1，P为AB边上一点，以PD、PC为边做平行四边形PCQD，请问对角线PQ、DC的长能否相等，为什么？
问题2：如图6-2，P为AB边上任意一点，以PD、PC为边做平行四边形PCQD，请问对角线PQ，的长是否存在最小值？如果存在，请求出最小值；如果不存在，请说明理由；
问题3：P为AB边上任意一点，延长PD到E，使DE＝PD，以PE、PC为边做平行四边形PCQE，请探究对角线PQ，的长是否也存在最小值？若果存在，请求出最小值；如果不存在，请说明理由；
问题4：如图6-3，P为DC边上任意一点，延长PA到E，使AE＝NPA,(N为常数)以PE、PB为边做平行四边形PBQE，请探究对角线PQ的长是否也存在最小值？若果存在，请直接写出最小值；如果不存在，请说明理由．
分析与解：问题1：假设对角线能相等，即PQ＝CD，
则四边形PCQD是矩形，
所以∠DPC＝90°，
因为AD＝1，AB＝2，BC＝3，
所以DC＝√[(3-1)2 22]＝2√2，
设PB＝x，则AP＝2－x，
在Rt△DPC中，PD2＋PC2＝DC2，
即x2＋32＋（2－x）2＋1＝8，
化简得x2－2x＋3＝0，
因为△＝（－2）2－4×1×3＝－8＜0，
方程无实数根，所以对角线PQ、DC的长不可能相等；
问题2：显然，PQ的长与点P的位置有关，要判断PQ是否存在最小值，关键在于确定点Q在什么线上运动？
过点Q作BC的垂线L，交BC延长线于点H．
则L∥AB．因为AD∥BC，
所以∠ADC＝∠DCH，
即∠ADP＋∠PDG＝∠DCQ＋∠QCH，
因为PD∥CQ，所以∠PDC＝∠DCQ，
所以∠ADP＝∠QCH，又PD＝CQ，
所以RT△ADP≌RT△HCQ，
所以AD＝HC．
因为AD＝1，BC＝3，
所以BH＝4，
可见，直线L是定直线．由于点P、Q分别在距离为4个单位的两条平行线上运动，
所以当PQ⊥AB时，PQ的长最小，为4；
