抛物线翻折下的参数取值范围——2020年秋高新区九年级数学期末第24题
初中阶段对抛物线的翻折问题，不会涉及太复杂的变化，一般将抛物线解析式化为顶点式，写出顶点坐标，剩下的任务就是利用轴对称性质。
在坐标系内解决抛物线和几何图形的问题，中点公式是件非常称手的工具，用语言描述就是“中点横、纵坐标等于两端点横、纵坐标和的一半”，若已知中点和一个端点，也可利用它来求另一个端点。
题目
一块等腰直角三角板(△ABC)按如图所示放置，AO=2，OC=1，∠ACB=90°，已知抛物线y=mx²-mx-2
经过点B.
(1)求点B的坐标和抛物线的解析式；
(2)如图1，在抛物线上是否存在一点P(点B除外)，使△ACP是以AC为直角边的等腰直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)如图2，将抛物线位于直线l：y=t(t>-17/8)下方的部分沿直线l向上翻折，抛物线剩余部分与翻折后所得图形组成一个“W”形的新图象，抛物线翻折后，顶点D落在点E处，当点E在△ABC内(含边界)时，求t的取值范围.
解析：
(1)过点B向x轴作垂线BD，构造“一线三直角”模型，如下图：
证明△AOC≌△CDB，求得CD=AO=2，BD=OC=1，故B(3,1)；
再将点B坐标代入抛物线解析式中，求得m=1/2，所以解析式为y=1/2x²-1/2x-2；
(2)以AC为直角边的等腰直角三角形如何画，是要先解决的问题，有如下三种方式：
第一种，过点C作AC的垂线，并截取线段CP，使CP=AC，这种截取包括了点B在内，因此点P在AC的另一侧，实质上相当于加倍延长线段BC，如下图：
此时点C是线段BP1的中点，可利用中点公式来求点P1坐标，结果为P1(-1,-1)，然后代入抛物线解析式验证，它在抛物线上；
第二种，过点A作AC的垂线，并截取线段AP，使AP=AC，这种截取应该也有两处，分别在AC的两侧，如下图：
在求点P2坐标前，先观察△ABC和△AP2C，它们都是等腰直角三角形，并且AC边重合，实质上它们是一对中心对称图形，对称中心就在AC中点，因此我们可先求AC中点坐标为(1/2,1)，再利用它同时也是线段BP2中点，再次利用中点公式求得P2(-2,1)，然后代入抛物线解析式验证，它也在抛物线上；
而另一侧的P3，它与P2关于点A中心对称，仍然利用中点公式求得它的坐标为(2,3)，代入抛物线解析式验证，它不在抛物线上；
综上，满足条件的点P坐标有两个(-1,-1)和(-2,1)；
(3)翻折后的抛物线顶点E，和原顶点D，都在直线x=1/2上，它恰好是这两条抛物线的对称轴，我们将这条直线作出来，它穿过△ABC，分别留下两个交点M，N，如下图：
显然线段MN之间的部分是符合要求的，那么，求这两个点坐标是首要任务，先求出直线AC解析式为y=-2x 2，再求出直线AB解析式为y=-1/3x 2，再将x=1/2代入，分别得到M(1/2,1)，N(1/2,11/6)，于是点E纵坐标一定在1到11/6之间；
依然利用轴对称性质，点E和点D到直线y=t的距离相等，我们只看纵坐标，先求出点D坐标为(1/2,-17/8)，依然用中点公式，表示出E(1/2,2t 17/8)，可得不等式组1≤2t 17/8≤11/6，解得-9/16≤t≤-7/48.
解题反思
无论是轴对称或中心对称，都可能会出现中点，因此在本题中多次使用中点公式，而这个公式可追溯到七年级学习数轴，数轴上任意两点的中点，是有一定规律可寻的，在这个基础上再来学习平面直角坐标系相关知识，无疑会更顺，对中点公式的理解也更透彻。
在解决类似点在区域内问题时，通常情况下先找到点所在的直线或曲线，然后研究线与边界的交点，从而确定范围，问题则转化成求交点，显然求交点，又变得联立方程(组)求解的问题，完成了一次数与形的结合，这也正是解析几何的核心思想。
*爱数学做数学
