抛物线的中点公式,抛物线的中点弦公式口诀

首页 > 教育 > 作者:YD1662024-04-15 02:02:25

抛物线翻折下的参数取值范围——2020年秋高新区九年级数学期末第24题

抛物线的中点公式,抛物线的中点弦公式口诀(1)

初中阶段对抛物线的翻折问题,不会涉及太复杂的变化,一般将抛物线解析式化为顶点式,写出顶点坐标,剩下的任务就是利用轴对称性质。

在坐标系内解决抛物线和几何图形的问题,中点公式是件非常称手的工具,用语言描述就是“中点横、纵坐标等于两端点横、纵坐标和的一半”,若已知中点和一个端点,也可利用它来求另一个端点。

题目

一块等腰直角三角板(△ABC)按如图所示放置,AO=2,OC=1,∠ACB=90°,已知抛物线y=mx²-mx-2

经过点B.

(1)求点B的坐标和抛物线的解析式;

(2)如图1,在抛物线上是否存在一点P(点B除外),使△ACP是以AC为直角边的等腰直角三角形?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由;

(3)如图2,将抛物线位于直线l:y=t(t>-17/8)下方的部分沿直线l向上翻折,抛物线剩余部分与翻折后所得图形组成一个“W”形的新图象,抛物线翻折后,顶点D落在点E处,当点E在△ABC内(含边界)时,求t的取值范围.

抛物线的中点公式,抛物线的中点弦公式口诀(2)

解析:

(1)过点B向x轴作垂线BD,构造“一线三直角”模型,如下图:

抛物线的中点公式,抛物线的中点弦公式口诀(3)

证明△AOC≌△CDB,求得CD=AO=2,BD=OC=1,故B(3,1);

再将点B坐标代入抛物线解析式中,求得m=1/2,所以解析式为y=1/2x²-1/2x-2;

(2)以AC为直角边的等腰直角三角形如何画,是要先解决的问题,有如下三种方式:

第一种,过点C作AC的垂线,并截取线段CP,使CP=AC,这种截取包括了点B在内,因此点P在AC的另一侧,实质上相当于加倍延长线段BC,如下图:

抛物线的中点公式,抛物线的中点弦公式口诀(4)

此时点C是线段BP1的中点,可利用中点公式来求点P1坐标,结果为P1(-1,-1),然后代入抛物线解析式验证,它在抛物线上;

第二种,过点A作AC的垂线,并截取线段AP,使AP=AC,这种截取应该也有两处,分别在AC的两侧,如下图:

抛物线的中点公式,抛物线的中点弦公式口诀(5)

在求点P2坐标前,先观察△ABC和△AP2C,它们都是等腰直角三角形,并且AC边重合,实质上它们是一对中心对称图形,对称中心就在AC中点,因此我们可先求AC中点坐标为(1/2,1),再利用它同时也是线段BP2中点,再次利用中点公式求得P2(-2,1),然后代入抛物线解析式验证,它也在抛物线上;

而另一侧的P3,它与P2关于点A中心对称,仍然利用中点公式求得它的坐标为(2,3),代入抛物线解析式验证,它不在抛物线上;

综上,满足条件的点P坐标有两个(-1,-1)和(-2,1);

(3)翻折后的抛物线顶点E,和原顶点D,都在直线x=1/2上,它恰好是这两条抛物线的对称轴,我们将这条直线作出来,它穿过△ABC,分别留下两个交点M,N,如下图:

抛物线的中点公式,抛物线的中点弦公式口诀(6)

显然线段MN之间的部分是符合要求的,那么,求这两个点坐标是首要任务,先求出直线AC解析式为y=-2x 2,再求出直线AB解析式为y=-1/3x 2,再将x=1/2代入,分别得到M(1/2,1),N(1/2,11/6),于是点E纵坐标一定在1到11/6之间;

依然利用轴对称性质,点E和点D到直线y=t的距离相等,我们只看纵坐标,先求出点D坐标为(1/2,-17/8),依然用中点公式,表示出E(1/2,2t 17/8),可得不等式组1≤2t 17/8≤11/6,解得-9/16≤t≤-7/48.

解题反思

无论是轴对称或中心对称,都可能会出现中点,因此在本题中多次使用中点公式,而这个公式可追溯到七年级学习数轴,数轴上任意两点的中点,是有一定规律可寻的,在这个基础上再来学习平面直角坐标系相关知识,无疑会更顺,对中点公式的理解也更透彻。

在解决类似点在区域内问题时,通常情况下先找到点所在的直线或曲线,然后研究线与边界的交点,从而确定范围,问题则转化成求交点,显然求交点,又变得联立方程(组)求解的问题,完成了一次数与形的结合,这也正是解析几何的核心思想。

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