1.创设情境
尺规作图就是用无刻度的直尺和圆规来作图,起源于古希腊
希腊人强调作图只能用直尺圆规,有下列原因:
①希腊几何的基本精神,是从极少的基本假定(定义、公理、公设)出发,推导出尽可能多的命题。
②以毕达哥拉斯学派为代表的希腊人认为圆是最完美的平面图形,圆和直线是几何学最基本的研究对象。史上最早明确提出尺规限制的是伊诺皮迪斯,他发现以下作图法:在已知直线的已知点上作一角与已知角相等。伊诺皮迪斯以后,尺规的限制逐渐成为一种公约,最后总结在《几何原本》之中。
如果能够使用尽量少的条件,作出与已知三角形全等的三角形,那么这些条件既可以作为三角形全等的判定定理。
三角形含有三条边、三个内角,六个几何要素。
使用的条件尽量少,证明方法越简单。我们可以按满足“一个条件、两个条件、三个条件……”开始研究。
问1:当满足一个条件时,△ABC 与△A'B'C'全等吗?
需要再分两种情况进行说明,即一条边分别相等、一个角分别相等,在探究过程中,可以通过画图加以说明,也可以利用三角尺等进行说明.
注:依靠一个条件,无法作出全等三角形,让学生在作图时,体会所作三角形不唯一,所以不能作为三角形全等的判定定理。
问2:当满足两个条件时,△ABC 与△A'B'C'全等吗?
学生独立思考:满足“两个条件”分两边、一边一角或两角分别相等三种情况。学生分三组分别进行探究,通过画图、展示交流,最后得出结论:只满足“两个条件”的两个三角形不一定全等.
注:(1)依靠二组角对应相等,能够作出无数个相似三角形,只能保证形状相同,大小无法保证相等;
(2)两组边对应相等,一边通过作图,可以作出无数个三角形,另一方面三边关系定理,可以知道:|a-b|<c<a b,第三边存在无数条;
(3)一组边一组角对应相等,通过作图实践,第三组边存在无数条。
所以通过两个条件,无法作出全等三角形,让学生在作图时,体会所作三角形不唯一,所以不能作为三角形全等的判定定理。
问3:当满足三个条件时,△ABC 与△A'B'C'全等吗?满足三个条件时,又分为几种情况呢?
学生回答问题,并相互补充,发现需要分四种情况进行研究,即三边、三角、两边一角、两角一边分别相等.
通过尺规作图探究三角形全等的判定定理,首先教给学生研究数学的一般方法,由简到繁,分类进行,逐层深入,等到一般结论。其次激励学生充分参与到探究过程中,层层深入地思考问题,培养动手能力,加深对三角形判定定理的认识。
2.尺规基本作图:
(1)作一条线段与已知线段相等
作等线段方法
(2)作一个角与已知角相等
作等角方法
这两个基本作图,学生以前没有经验,教师尺规作图做示范。
3.尺规作图,探究“边边边”判定方法
尺规作图:已知△ABC,画一个△A'B'C',使AB=A'B',AC=A'C',BC=B'C'.
并判断△ABC和△A'B'C'是否全等.
全等三角形判定定理SSS
通过对于条件由少到多的分析,满足三个条件,终于找到三角形全等的判定定理。作图过程尽量交给学生完成,探究过程使学生收获成就感。
通过作图探究,总结得到全等三角形判定定理——SSS,给出明确定理表述。