这是最多的，所以Σ（2）是4。
这个过程是如何继续的呢？对于三状态的图灵机，最终纸带上最多有六个1，所以Σ（3）是6；对于四状态的图灵机，最多有13个1，所以Σ（4）是13。至于五状态的图灵机，人类至今还无法计算这个数。
为什么这么难计算呢？我们来看看有多少种n状态的图灵机，
数量是这么多。可以看到，随着所考虑的状态数量的增加，机器的数量是呈指数增长的。当有四个状态时，那涉及到超过250亿台图灵机，而人类确定了它们能写入的1的最大数量是13，这已经是一项非常艰巨的工作。
问题在于判定哪些机器会停止，没有通用的算法。
因此，我们需要对单个机器进行多年的理论推断，找出最终会停止的一小部分机器，并运行它们以得出写入1的最大次数。对于五状态的图灵机，这涉及到数万亿台更为复杂的机器。
这个函数有多难呢？首先，Σ(n)甚至不是一个可计算的函数。一个可计算的函数是那种可以通过有限步骤从输入产生输出的函数，但这里没有这样的函数，因为有些机器会永远运行。在整个运行过程中，我们可能会认为其中一台机器可能是“忙碌的海狸”（Busy Beaver）。
“忙碌的海狸”是一个来自计算理论的概念，用于描述一个特殊类型的图灵机，这种图灵机在给定状态数的限制下，能够在最终停机（halt）之前打印出尽可能多的“1”。
那么，我们怎么能计算像Σ（4）这样的数呢？这里有一点微妙之处：不可计算性来自于缺乏一种适用于所有n的有限程序。但对于特定的n，由于机器数量是有限的，我们可能能够通过分析找到答案。
有证据表明，这个序列增长速度超过任何可计算的函数。换句话说，在所有可能的函数中，只要输入一个整数n并在有限时间内返回一个整数，忙碌海狸函数在某个n值之后的增长速度将超过它。
这实在是太不可思议了。简单地说，任何你能想象到的通过有限步骤处理输入的方式，都无法超过这一令人惊叹的数列。
尝试挑战王者
让我们尝试挑战忙碌海狸函数。我将构造一个自己的快速增长的函数。首先，我要发明一些符号。假设一个问号代表一个阶乘的指数版本。比如4问号，是指4的3次方的2次方的1次方。
