以上就是主成分分析的所有过程。可以通过矩阵变换知道原始数据能够浓缩成几个主成分,以及每个主成分与原来变量之间线性组合关系式。但是细心的朋友会发现,每个原始变量在主成分中都占有一定的分量,这些分量(载荷)之间的大小分布没有清晰的分界线,这就造成无法明确表述哪个主成分代表哪些原始变量,也就是说提取出来的主成分无法清晰的解释其代表的含义。
因子分析
鉴于主成分分析现实含义的解释缺陷,统计学斯皮尔曼又对主成分分析进行扩展。因子分析在提取公因子时,不仅注意变量之间是否相关,而且考虑相关关系的强弱,使得提取出来的公因子不仅起到降维的作用,而且能够被很好的解释。因子分析与主成分分析是包含与扩展的关系。
首先解释包含关系。如下图所示,在SPSS软件“因子分析”模块的提取菜单中,提取公因子的方法很多,其中一种就是主成分。由此可见,主成分只是因子分析的一种方法。
其次是扩展关系。因子分析解决主成分分析解释障碍的方法是通过因子轴旋转。因子轴旋转可以使原始变量在公因子(主成分)上的载荷重新分布,从而使原始变量在公因子上的载荷两级分化,这样公因子(主成分)就能够用哪些载荷大的原始变量来解释。以上过程就解决了主成分分析的现实含义解释障碍。
上面两个表是旋转后的成分矩阵和成分得分系数矩阵,这两个表的数值与主成分分析的结果已经完全不同。从左边的表可以明显知道,第一公因子主要由X1,X8,X3和X5解释,第二公因子有X4和X2解释,第二公因子有X6和X7解释。右边表格的得分系数也不在是通过成分载荷/特征根得到,而是通过回归得出(后面的文章会介绍)。
从以上内容可以知道,主成分分析和因子分析的关系是包含与扩展。当因子分析提取公因子的方法是主成分(矩阵线性组合)时,因子分析结论的前半部分内容就是主成分分析的内容,而因子旋转是因子分析的专属(扩展),主成分分析是因子分析(提取公因子方法为主成分)的中间步骤。这就是为什么很多软件没有专门为主成分分析独立设计模块的原因。从应用范围和功能上讲,因子分析法完全能够替代主成分分析,并且解决了主成分分析不利于含义解释的问题,功能更为强大。
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