克鲁斯卡尔（Kruskal）算法详解
算法概述：
克鲁斯卡尔算法是用于解决加权无向连通图最小生成树问题的一种贪心算法。其目标是在保持图连通的前提下，找到一种添加边的方式，使得这些边的总权重尽可能小。具体步骤如下：
1. 排序：首先对图中所有边按照权值从小到大进行排序。
2. 初始化：创建一个空的最小生成树，并为每个顶点创建一个集合（通常使用并查集数据结构），初始时每个顶点自成一个集合，表示森林中的独立树。
3. 选择边：依次遍历排序后的边列表，对于每条边：
• 如果这条边连接的两个顶点当前位于不同的集合中（即它们不在同一棵树上），则将这条边加入最小生成树，并合并这两个集合。
• 如果这条边连接的顶点已经在同一个集合中，则说明这条边会形成环路，因此跳过这条边，继续处理下一条。
4. 重复过程：重复上述过程，直到加入了n-1条边（其中n为顶点数），此时得到的就是一棵包括所有顶点且没有环路的最小生成树。
C 实现示例：
以下是一个简化的C 实现，假设我们有一个类Edge来表示边，它包含两个顶点和一个权重，并且使用了并查集来进行集合操作。
#include <iostream>
#include <vector>
#include <algorithm>
struct Edge {
int u, v;
int weight;
// 构造函数和其他必要方法省略
bool operator<(const Edge& other) const {
return weight < other.weight; // 用于排序边
}
};
class UnionFind {
public:
UnionFind(int n) {
parent.resize(n);
for (int i = 0; i < n; i)
parent[i] = i;
}
int find(int x) {
if (parent[x] != x)
parent[x] = find(parent[x]);
return parent[x];
}
void unite(int x, int y) {
int rootX = find(x), rootY = find(y);
if (rootX != rootY)
parent[rootX] = rootY;
}
private:
std::vector<int> parent;
};
void kruskal(std::vector<Edge>& edges, int numVertices) {
std::sort(edges.begin(), edges.end()); // 按权值排序边
UnionFind uf(numVertices);
std::vector<Edge> mst;
for (auto& edge : edges) {
if (uf.find(edge.u) != uf.find(edge.v)) { // 不在同一集合内，可以添加边
mst.push_back(edge); // 将边加入最小生成树
uf.unite(edge.u, edge.v); // 合并顶点所在的集合
}
if (mst.size() == numVertices - 1) // 已经找到了足够的边
break;
}
// 输出最小生成树的边
std::cout << "Minimum Spanning Tree Edges:\n";
for (const auto& e : mst)
std::cout << "(" << e.u << ", " << e.v << ") with weight " << e.weight << "\n";
}
// 示例主函数
int main() {
int numVertices, numEdges;
std::cin >> numVertices >> numEdges;
std::vector<Edge> edges(numEdges);
// 假设从输入读取边的信息并填充edges数组
kruskal(edges, numVertices);
return 0;
}
在上述代码中，首先定义了一个表示边的结构体Edge，接着定义了一个并查集类UnionFind，它负责管理顶点所属的集合。然后在kruskal函数中，通过排序、查找集合根节点以及合并集合，逐步构建最小生成树。最后，在主函数中读取图的顶点数和边数，并调用kruskal函数来计算最小生成树。
请注意，实际应用时可能需要根据具体的输入输出要求调整代码，例如如何读取和存储图的边信息等。
