- 以上图为例，来对克鲁斯卡尔进行演示(假设，用数组R保存最小生成树结果)。
第1步：将边<E,F>加入R中。 边<E,F>的权值最小，因此将它加入到最小生成树结果R中。
第2步：将边<C,D>加入R中。 上一步操作之后，边<C,D>的权值最小，因此将它加入到最小生成树结果R中。
第3步：将边<D,E>加入R中。 上一步操作之后，边<D,E>的权值最小，因此将它加入到最小生成树结果R中。
第4步：将边<B,F>加入R中。 上一步操作之后，边<C,E>的权值最小，但<C,E>会和已有的边构成回路；因此，跳过边<C,E>。同理，跳过边<C,F>。将边<B,F>加入到最小生成树结果R中。
第5步：将边<E,G>加入R中。上一步操作之后，边<E,G>的权值最小，因此将它加入到最小生成树结果R中。
第6步：将边<A,B>加入R中。 上一步操作之后，边<F,G>的权值最小，但<F,G>会和已有的边构成回路；因此，跳过边<F,G>。同理，跳过边<B,C>。将边<A,B>加入到最小生成树结果R中。
此时，最小生成树构造完成！它包括的边依次是：<E,F> <C,D> <D,E> <B,F> <E,G> <A,B>。
五、克鲁斯卡尔(Kruskal)算法分析根据前面介绍的克鲁斯卡尔算法的基本思想和做法，我们能够了解到，克鲁斯卡尔算法重点需要解决的以下两个问题：
问题一：对图的所有边按照权值大小进行排序。
问题二 将边添加到最小生成树中时，怎么样判断是否形成了回路。
问题一很好解决，采用排序算法进行排序即可。
问题二，处理方式是：记录顶点在"最小生成树"中的终点，顶点的终点是"在最小生成树中与它连通的最大顶点"。然后每次需要将一条边添加到最小生存树时，判断该边的两个顶点的终点是否重合，重合的话则会构成回路。
六、如何判断是否构成回路——示例说明
在将<E,F> <C,D> <D,E>加入到最小生成树R中之后，这几条边的顶点就都有了终点：
1）、C的终点是F。
2）、D的终点是F。
3）、E的终点是F。
4）、F的终点是F。
关于终点的说明：
1）、就是将所有顶点按照从小到大的顺序排列好之后；某个顶点的终点就是"与它连通的最大顶点"。
2）、因此，接下来，虽然<C,E>是权值最小的边。但是C和E的终点都是F，即它们的终点相同，因此，将<C,E>加入最小生成树的话，会形成回路。这就是判断回路的方式。也就是说，我们加入的边的两个顶点不能都指向同一个终点，否则将构成回路。
七、克鲁斯卡尔(Kruskal)算法——代码实现package com.rf.data_structure_algorithm.algorithm.kruskal;
import java.util.Arrays;
/**
* @description: 克鲁斯卡尔算法
* @author: xiaozhi
* @create: 2020-11-16 20:55
*/
public class KruskalAlgorithm {
int edgeNum; //边的个数
char[] vertexs;//顶点数组
int[][] matrix; //邻接矩阵
static final int INF = Integer.MAX_VALUE;//使用 INF 表示两个顶点不能连通
//构造器
public KruskalAlgorithm(char[] vertexs, int[][] matrix) {
//初始化顶点, 复制拷贝的方式
this.vertexs = new char[vertexs.length];
for (int i = 0; i < vertexs.length; i ) {
this.vertexs[i] = vertexs[i];
}
//初始化边, 使用的是复制拷贝的方式
this.matrix = new int[vertexs.length][vertexs.length];
for (int i = 0; i < vertexs.length; i ) {
for (int j = 0; j < vertexs.length; j ) {
this.matrix[i][j] = matrix[i][j];
}
}
//统计边的条数
for (int i = 0; i < vertexs.length; i ) {
for (int j = i 1; j < vertexs.length; j ) {
if (this.matrix[i][j] != INF) {//可以连通，边的个数 1
edgeNum ;
}
}
}
}
/**
* @Description: 打印邻接矩阵
* @Author: xz
* @Date: 2020/11/16 21:11
*/
public void print() {
for (int i = 0; i < vertexs.length; i ) {
for (int j = 0; j < vertexs.length; j ) {
System.out.printf("d", matrix[i][j]);
}
System.out.println();//换行
}
}
/**
* @Description: 对边进行排序（冒泡排序）
* @Param: edges 边的集合
* @Author: xz
* @Date: 2020/11/16 21:28
*/
public void sortEdges(KData[] edges){
for(int i=0;i<edges.length-1;i ){
for(int j=0;j<edges.length-1-i;j ){
if(edges[j].weight >edges[j 1].weight){
KData temp =edges[j];
edges[j]=edges[j 1];
edges[j 1]=temp;
}
}
}
}
/**
* @Description:
* @Param: c 表示顶点的值，比如‘A’，‘B’...
* @Author: xz
* @return: 返回c 顶点的下标，如果找不到返回-1
* @Date: 2020/11/16 21:35
*/
public int getPosition(char c){
for(int i=0;i<vertexs.length;i ){
if(vertexs[i] ==c){
return i;
}
}
//找不到返回-1
return -1;
}
/**
* @Description: 获取图中的边放到KData[] 数组中，通过 matrix 邻接矩阵获取
* KData[] 的形式如: [[<A, B>= 12], [<A, F>= 16],...]
* @Author: xz
* @Date: 2020/11/16 21:41
*/
public KData[] getEdges(){
int index=0;
KData[] edges=new KData[edgeNum];
for(int i=0;i<vertexs.length;i ){
for(int j=i 1;j<vertexs.length;j ){
if(matrix[i][j] != INF){
edges[index ] =new KData(vertexs[i],vertexs[j],matrix[i][j]);
}
}
}
return edges;
}
/**
* 功能: 获取下标为i的顶点的终点(), 用于后面判断两个顶点的终点是否相同
* @param ends ： 数组就是记录了各个顶点对应的终点是哪个,ends 数组是在遍历过程中，逐步形成
* @param i : 表示传入的顶点对应的下标
* @Author: xz
* @return 返回的就是 下标为i的这个顶点对应的终点的下标
* @Date: 2020/11/16 21:49
*/
private int getEnd(int[] ends, int i) {
while(ends[i] != 0) {
i = ends[i];
}
return i;
}
/**
* @Description: 克鲁斯卡尔方法
* @Author: xz
* @Date: 2020/11/16 21:52
*/
public void kruskal() {
int index = 0; //表示最后结果数组的索引
int[] ends = new int[edgeNum]; //用于保存"已有最小生成树" 中的每个顶点在最小生成树中的终点
//创建结果数组, 保存最后的最小生成树
KData[] rets = new KData[edgeNum];
//获取图中 所有的边的集合 ， 一共有12边
KData[] edges = getEdges();
System.out.println("图的边的集合=" Arrays.toString(edges) " 共" edges.length); //12
//按照边的权值大小进行排序(从小到大)
sortEdges(edges);
//遍历edges 数组，将边添加到最小生成树中时，判断是准备加入的边否形成了回路，如果没有，就加入 rets, 否则不能加入
for(int i=0; i < edgeNum; i ) {
//获取到第i条边的第一个顶点(起点)
int p1 = getPosition(edges[i].start); //p1=4
//获取到第i条边的第2个顶点
int p2 = getPosition(edges[i].end); //p2 = 5
//获取p1这个顶点在已有最小生成树中的终点
int m = getEnd(ends, p1); //m = 4
//获取p2这个顶点在已有最小生成树中的终点
int n = getEnd(ends, p2); // n = 5
//是否构成回路
if(m != n) { //没有构成回路
ends[m] = n; // 设置m 在"已有最小生成树"中的终点 <E,F> [0,0,0,0,5,0,0,0,0,0,0,0]
rets[index ] = edges[i]; //有一条边加入到rets数组
}
}
//<E,F> <C,D> <D,E> <B,F> <E,G> <A,B>。
//统计并打印 "最小生成树", 输出 rets
System.out.println("最小生成树为=================");
for(int i = 0; i < index; i ) {
System.out.println(rets[i]);
}
}
/**
* @Description: 测试方法
* @Author: xz
* @Date: 2020/11/16 21:15
*/
public static void main(String[] args) {
//定义7个顶点
char[] vertexs = {'A', 'B', 'C', 'D', 'E', 'F', 'G'};
//定义克鲁斯卡尔算法的邻接矩阵 INF:表示两个顶点不能连通，0：表示顶点自己和顶点自己相连
int matrix[][] = {
/*A*//*B*//*C*//*D*//*E*//*F*//*G*/
/*A*/ {0, 12, INF, INF, INF, 16, 14},
/*B*/ {12, 0, 10, INF, INF, 7, INF},
/*C*/ {INF, 10, 0, 3, 5, 6, INF},
/*D*/ {INF, INF, 3, 0, 4, INF, INF},
/*E*/ {INF, INF, 5, 4, 0, 2, 8},
/*F*/ {16, 7, 6, INF, 2, 0, 9},
/*G*/ {14, INF, INF, INF, 8, 9, 0}
};
//创建KruskalAlgorithm 对象实例
KruskalAlgorithm kruskalAlgorithm = new KruskalAlgorithm(vertexs, matrix);
//输出构建的邻接矩阵
System.out.println("邻接矩阵============== \n");
kruskalAlgorithm.print();
System.out.println();
System.out.println("图中的边及权值-------------------------");
KData[] edges = kruskalAlgorithm.getEdges();
System.out.println("排序前=" Arrays.toString(edges));
kruskalAlgorithm.sortEdges(edges);
System.out.println("排序后=" Arrays.toString(edges));
System.out.println();
kruskalAlgorithm.kruskal();
}
}
/**
* @Description: 创建一个类KData，它的对象实例就表示一条边
* @Author: xz
* @Date: 2020/11/16 21:22
*/
class KData {
char start; //边的一个点
char end; //边的另外一个点
int weight; //边的权值
//构造器
public KData(char start, char end, int weight) {
this.start = start;
this.end = end;
this.weight = weight;
}
//重写toString, 便于输出边信息
@Override
public String toString() {
return "KData [<" start ", " end ">= " weight "]";
}
}
运行：
