作者 | 刘洋洲
来源 | 转自知乎专栏《万物皆数也》，“数学英才”获授权转载，在此感谢！
在上一篇文章 《复平面变换下的复变函数》中，我们可视化指数函数、三角函数。本文将介绍莫比乌斯变换的奇妙性质，并且建立其与正切函数的联系。
Part1莫比乌斯变换的表示1矩阵表示
所谓莫比乌斯变换，也称为分式变换，其形如：
奇妙的是，全体莫比乌斯变换构成群。也就是说莫比乌斯变换的复合仍然是莫比乌斯变换，并且有恒等映射作为单位元，逆变换同样是莫比乌斯变换。而且更神奇的是，变换的复合与矩阵乘法一一对应：
这个读者可以简单的计算得到验证。另外如果复数采用齐次坐标的写法：，则莫比乌斯变换与矩阵变换无异：
于是我们将莫比乌斯变换对应的矩阵记为.
2不动点与特征向量
我们发现的不动点和的特征向量存在对应的关系。所谓不动点，即满足方程的点；特征向量是指满足，称之为特征值。我们约定既可以是齐次坐标，又可以视为向量，这取决于是还是作用于，相信这不至于引起混乱。
是的特征向量，即，则是的不动点，即：
下文将会有重要的应用。
Part2莫比乌斯变换的分解3什么是反演？
分式变换就是复数四则运算的简单复合。加减乘三种运算我们都讨论过了，唯有除法需要特别介绍。
我们只需要关注倒数函数即可。利用欧拉公式观察：
从几何的角度讲——
倒数函数是关于复平面上单位圆的复反演。
何谓“复反演”？请看下图：是圆心位于原点的单位圆中的任意一点，接下来我们找点关于单位圆的反演点。我们称单位圆是反演圆，圆心称为反演中心。连接并延长，做过点关于射线的垂线交圆于点；做过点的切线交于点，则为的反演。再对点取共轭，则得到点的复反演.
在中，由射影定理：
所以复数和的模长满足导数关系，注意式，辐角取相反数，所以最后还需要取共轭，于是得到复反演点.
从几何角度看，（复）反演关系是相互的，当点位于单位圆外，则通过逆向操作得到其反演点位于圆内。当点位于单位圆上，则复反演点恰好是共轭点。
4反演的几何性质
事实上，复反演只不过是反演和翻折变换的复合。反演满足以下几何性质：
（保圆性）反演将圆映射为圆。
更确切地讲，反演将反演圆内的小圆映射为圆外的大圆，或者反过来。
若圆与反演圆相交，则其反演的像也与反演圆相交于相同的点。
特别地，若圆通过反演中心，则其像为直线。我们把直线视为半径无穷大的圆。
证明并不困难，但在此省略。
如图，红色且粗线条的圆是反演圆，其余相同颜色的圆互为反演关系。复反演则取实轴的镜像即可。
Part3莫比乌斯变换的性质保圆性
莫比乌斯变换可以分解为旋转、平移、反演的复合：
而这三种变换都具有保圆性，所以莫比乌斯变换也具有保圆性。
不动点
莫比乌斯变换的不动点对于其化简、分类有着重要的意义。从矩阵理论的角度看，不动点事实上是莫比乌斯变换的特征向量，方便变换矩阵对角化。
经过简单的计算，得到二次方程
首先排除系数皆为的情况，这与的条件相违。其次分母为常数的情况也都是平凡的情况。我们直接考虑的情况，此时由二次方程有两个解，我们分别记为（可能重根）。
当时，定义变换，以及. 可以立即验证的不动点是和.
当时，定义变换，以及. 可以立即验证的唯一不动点是.
经过修剪的莫比乌斯变换更加简明，以上两种情况分别具有如下形式：
显然前者是由乘子所决定的旋转和伸缩的复合，而后者是由决定的平移。
Part4莫比乌斯变换与正切函数的关系
我们将复平面上的变换通过球极投影展现在黎曼球面上，北极点对应的是复平面的无穷远点。此图反应了旋转 伸缩的情况。
终于我们的主角登场了。
由欧拉公式，我们可以得到正弦和余弦的表达式：
两者之比正是正切函数：
我们可以将正切函数视为一系列的复合：
前面的指数映射我们已经介绍过了，注意到倒数第二步是一个莫比乌斯变换
这个变换的不动点容易计算为，这符合第7节有互异不动点的情形，于是构造映射，最终我们得到乘子
也就是说是一个黎曼球面上的逆时针旋转90度的变换。
从回到：是绕着和这两个不动点的旋转，则是绕着这两个不动点的旋转，如下动图充分反映出这一点。
参考文献
[1] Thristan Needham. 复分析:可视化方法[M]. 人民邮电出版社, 2009.
[2] 沙巴特. 复分析导论: 第4版. 第1卷, 单复变函数[M]. 高等教育出版社, 2010.
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