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导读
质数分布的全部信息都包含在黎曼ζ函数非平凡零点的位置当中。得救之道,就在其中!
本文为黎曼猜想系列之四,
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视频链接:
西瓜视频:
https://www.ixigua.com/7038905210156253700
本视频发布于2021年12月7日,观看量已超4万
精彩呈现:
在前三期节目中,我们介绍了黎曼猜想的背景,即质数分布问题,以及研究质数分布的基本工具,即欧拉乘积公式。我们还说到,黎曼通过解析延拓,把欧拉ζ函数升级成了黎曼ζ函数。顺便说一句,令许多人惊愕万分的所谓“全体自然数的和等于-1/12”,其实不是字面上的意思,而是说黎曼ζ函数在自变量为-1时的取值等于-1/12。那么,黎曼具体做了些什么呢?
黎曼是一位德国数学家,生于1826年,可惜天不与寿,只享年40岁,去世于1866年。黎曼从小就显示出了超群的数学天才,得到过数学王子高斯(Johann Carl Friedrich Gauss,1777 - 1855)的赞赏,这是极其少见的。在黎曼去世五十多年后,爱因斯坦在发展广义相对论的过程中,又受到了黎曼极大的启发,可见黎曼的洞察力多么超越时空!
黎曼
1859年,黎曼33岁时被选为柏林科学院(Berlin Academy)的通讯院士(corresponding member)。为了答谢这个荣誉,黎曼向柏林科学院提交了一篇论文,标题叫做《论小于给定数值的质数个数》(Ueber die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grösse,英文翻译为On the number of Primes Less Than a Given Magnitude)。此文的篇幅虽然只有短短的8页纸,内容却非常丰富,语言极其精炼,直到现在都在不断给数学家们提供启发和挑战,堪称整个数学史上最深邃和最难啃的论文之一。此文的要点包括:
一,我们应该把ζ(s)中的自变量s理解为复数(complex number),而不只是实数;
二,我们可以通过解析延拓(analytic continuation),让ζ(s)在s < 1的地方也获得定义;
三,通过对ζ(s)的研究,我们可以对小于等于某个数x的质数的个数给出一个明确的表达式,在这个表达式中唯一未知的就是ζ(s)的零点的位置;