以及很多诸如此类的形式上的等式。我们在每一个等号后面都加了个问号，是为了强调这些并不是真的相等，只是一种联想。所谓“全体自然数的和等于-1/12”，“无穷多个1加起来等于-1/2”，以及“全体自然数的平方和等于0”等等，都是这么来的，绝不是真的相等。如果你要问这些无穷级数实际上等于什么，那当然是无穷大。
下一点要解释的是，黎曼ζ函数的定义域不只是实数，而是复数。如果你不知道复数是什么，那么我们可以稍微解释一下：复数就是所有的x yi，其中x和y是两个实数，而i是-1的平方根，即i的平方等于-1，x叫做这个复数的实部，常用Re来表示，y叫做这个复数的虚部，常用Im来表示。全体的实数可以用一根数轴来表示，而全体的复数需要用一个平面来表示，这个平面的x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴，在这个平面上坐标为(x, y)的一个点就对应于x yi，这个平面叫做复平面。我们也经常把复数理解为一个矢量，这个矢量的起点是原点，终点是(x, y)。在这些意义上，实数是一维的数，而复数是二维的数。
把ζ函数的自变量s扩展为复数后，很容易证明，原来的级数在s的实部（即Re(s)）大于1时是收敛的，而在Re(s)小于1时是发散的。经过黎曼的解析延拓后，ζ函数最终变成了这样：
在整个复平面上，黎曼ζ函数只在s = 1这一点没有定义，而在其他所有的点都有定义。你也许会问，指数为复数的乘方怎么计算？回答是，看一下高中数学课本就知道了，关键全都在这个欧拉公式里：
这对应于一个长度为1的矢量，它的方向是从实轴旋转了角度θ。根据欧拉公式，一个底数为实数r、指数为复数x yi的乘方就等于：
