因此，结果矢量的长度只与指数的实部x有关，与指数的虚部y无关；而它的方向只与y有关，与x无关。也就是说，如果给指数加上一个纯虚数，就相当于给乘方的结果做了一个旋转。如果给指数加上一个实数，就相当于改变了乘方矢量的长度，而方向不变。而如果给指数加上一个实部和虚部都不等于0的复数，乘方的结果就是既改变大小，也改变方向。
黎曼把ζ函数的自变量s从实数扩展到了复数，也就是说把ζ函数从实变函数变成了复变函数，这样做有什么好处呢？
好处在于，在某种意义上，复变函数比实变函数简单。是的，你没听错，二维的复变函数比一维的实变函数简单。
为什么呢？因为在数轴上接近一个点，只有两个方向，左和右，而在复平面上接近一个点，却有无穷多个方向，例如左边、右边、上边、下边以及任意倾斜的方向。如果对无穷多个方向做计算都能得到同一个结果，那么这是一个非常强的限制条件，能通过这样的限制条件的复变函数就很容易处理，比实变函数容易处理得多。例如，复变函数的解析延拓就比实变函数的解析延拓容易得多。因此数学界有这样的笑谈：实变函数处理的都是性质非常恶劣的函数，复变函数处理的都是性质非常良好的函数。
现在我们可以理解黎曼的做法了。用《三体》的语言说，黎曼对ζ函数发动了“降维打击”！
二向箔
复变函数的一个特点是，许多性质是由它的零点（zero）决定的。所谓零点，就是使得这个函数取值为0的点，例如正负i就是复变函数f(z) = z2 1的两个零点。
如果你在复平面上围着一个零点做一条曲线，好比扔一个套索套住这个零点，然后求函数在这条曲线上的积分，那么你会发现积分结果完全由零点的性质决定，跟曲线的具体情况没有关系。你可以把这条曲线扩大一点或者缩小一点，拉长一点或者压扁一点，都对结果完全没有影响，你只需要知道函数在零点附近的行为就够了。
来，让我们为复变函数献上一首《套马杆》！套马的数学家，你威武雄壮！
套马杆
黎曼对ζ函数套了一通马之后，套出了下面这个惊人的等式：
这个等式说的是什么呢？左边的J(x)是一个阶梯函数，它在x = 0的地方取值为0，然后每经过一个质数（例如2、3、5）就增加1，每经过一个质数的平方（例如4、9、25）就增加1/2，每经过一个质数的三次方（例如8、27、125）就增加1/3，如此等等，每经过一个质数的n次方就增加1/n。你可以把它理解为，一个质数的n次方被算作了1/n个质数。显然，这个函数跟质数的分布密切相关。
来看等式的右边。第一项Li(x)叫做对数积分函数（logarithmic integral function），它的定义是：
