对数积分函数的图像是这个样子：
在x很大的时候，Li(x)就约等于x/lnx。
再来看第二项，这里的函数形式仍然是对数积分函数，但自变量却变得非常有意思，是所有的x的ρ次方。这些ρ是什么呢？回答是：黎曼ζ函数的非平凡零点（non-trivial zeroes）。
零点我们知道了，就是使函数取值为0的那些点。为什么又加个“非平凡”呢？因为黎曼证明了，s等于-2、-4、-6、-8等负的偶数值的时候，ζ(s)必然等于0。如果用类似于“全体自然数的和等于-1/12”那样的开玩笑不嫌事儿大的语言，就可以说“全体自然数的平方和等于0”，“全体自然数的四次方和等于0”，“全体自然数的六次方和等于0”，以至于“全体自然数的偶数次方和等于0”。在数学家们看来，这是一目了然的，于是他们把ζ函数的这些零点叫做平凡零点（trivial zeroes）。好吧，数学家的“一目了然”和我们真是两个概念！
但是除了负的偶数之外，黎曼ζ函数还有其他的零点。这些零点的位置就远远不是一目了然的了，即使对黎曼都不是，因此被称为非平凡零点。上面提到的ρ就是这些非平凡零点。可以确认的是，非平凡零点肯定不在实轴上。在实轴上除了负的偶数，没有其他的零点了。
你也许会问，既然非平凡零点ρ不是实数，那么x的ρ次方也不是实数，对这样一个虚数自变量的对数积分函数是怎么计算的？回答是：数学家又做了一个解析延拓，把对数积分函数的定义域扩展到了复数。
总而言之，黎曼套马杆的结果，就是对一个与质数分布密切相关的函数J(x)给出了一个表达式，其中唯一不清楚的部分来自黎曼ζ函数的非平凡零点。
然后，让我们回顾一下，黎曼这篇论文的标题叫做《论小于给定数值的质数个数》。有一个函数叫做质数计数函数（prime-counting function），意思是小于等于给定数值x的质数个数，数学家经常把它写成π(x)。这个名字有点杯具，因为它跟圆周率π毫无关系。
让我们来举个例子，小于等于1的质数有多少个？回答是没有，所以π(1) = 0。小于等于2的质数有多少个？回答是1个，就是最小的质数2，所以π(2) = 1。小于等于3的质数有多少个？增加了一个质数3，所以π(3) = 2。类似地，π(5)= 3，π(7) = 4，π(11) = 5等等。对于前60个自然数，质数计数函数的图像如下：
显然，如果我们对质数计数函数知道了一个简便的计算公式，那么对第n个质数也就有了快速的算法。如我们在本系列中第一篇所说的，这将造成惊人的后果，对理论和应用都产生巨大的影响。
你也许会叹息，黎曼得到的并不是π(x)，而是J(x)。没关系，这两个函数包含的信息是等价的，从它们中的一个就可以推出另一个。在这个意义上，质数分布的全部信息都包含在黎曼ζ函数非平凡零点的位置当中。用《肖申克的救赎》中的台词说：“得救之道，就在其中！”
得救之道，就在其中
具体地说，π(x)和J(x)之间的关系是：
