四，黎曼猜测，ζ(s)的零点都位于某些地方，这个猜测就是黎曼猜想。
现在我们来解释一下。欧拉ζ函数是这样一个对所有自然数求和的级数：
需要注意的是，这个级数只在s > 1时收敛，在s ≤ 1是发散的，因此没有意义。但是黎曼提出了一种通过ζ(s)来定义ζ(1 - s)的方法，硬是把这个函数扩展到了s ≤ 1的区域。
黎曼是怎么做的呢？在s > 1的情况下，黎曼经过一番巧妙的变换，证明了下面这个等式：
这里的Γ是欧拉Gamma函数，是阶乘的扩展。如果你看不懂细节，这并不重要。真正重要的，是看右边这个关于s的表达式：把s换成1 - s，答案不变。
为什么呢？因为这时前面的分式中的分母s(s - 1)变成了(1 - s) (-s)，你看，确实不变。而后面的积分当中的两个指数，-(s 1)变成了-(2 - s) = s - 2，而s - 2变成了-(s 1)，你看，刚好是互换了一下，所以还是不变。结论是：右边的表达式，在s换成1 - s时，保持不变！
因此黎曼指出，左边的表达式在把s换成1 - s时，也保持不变。也就是说：
这个等式叫做黎曼的函数方程。根据这个等式，如果你知道了ζ(s)，你就可以算出ζ(1 - s)。就这样，黎曼对ζ函数做出了解析延拓，从它已知的在s > 1时的值，就可以定义它在s < 1时的值！
由于时间关系，在这里我们只能讲这个证明的大略。真正惊人的是，你如果照着他的证明一路推下去，你就会看到他的结论是正确的，但他是怎么想到这个做法的？这就完全是“一剑西来，天外飞仙”！即使在专业数学家看来，黎曼的思路也非常神奇，远远不是显而易见的。
