上次老黄在高数探究中遇到了一个危机。就是老黄自己推出来的正弦或余弦的正整数幂公式，和教材所给的递推公式，看不出有紧密的联系。因此老黄怀着忐忑的心情，把教材的递推公式推导出最终的公式形式，证明教材的递推公式与老黄自己推导的公式是一致的。这方面的内容可以在《老黄学高数》系列视频第267讲中找到详细的介绍。
同时这也给了老黄一点启发。教材中还有正割或余割的递推公式，老黄何不把它们的最终公式形态也推导出来。一可以熟练求积分的各种方法，二求出来的公式，以后也可以直接拿来运用，一举两得。这其实就是学习的一种方法，不仅高数适合，基础数学和其它学科也都是适合的。
说干就干，老黄先推导正割的正整数幂积分公式，看看结果是怎么样的。这里包含了两步，第一步是推出教材的递推公式。因为教材只给了一个公式，并没有教老黄怎么推出这个公式。第二步再在递推公式的基础上，推导出最终公式。
探究1：求In=∫(secx)^ndx，n>2.
推导过程用文字描述相当麻烦，老黄直接上图，希望你能够看得明白。如果有任何不明白的地方，欢迎回复提问。
公式需要分类讨论，即当n是奇数时，以及当n是偶数时两种情况。它们的公式形式看起来非常相似，只有首项的ln|secx tanx|和tan的区别，以及求和公式的上标m和m-1的区别。但其实代入具体的指数n时，两个公式还是有不小的差别的。
注意，当n=1时，公式(1)剩下前面第一项，就是∫secxdx=ln|secx tanx| C. 当n=2时, ∫(secx)^2dx=tanx，也是公式(2)前面的第一项，都是各自的特例。
利用这个公式，来做两道例题，例1是求正割5次方的不定积分：
例1：求∫(secx)^5dx.
