很多同学对于三角函数余弦函数两角和差公式,怎么得到的很迷惑,本文就将进行保姆级的证明推导过程,希望对大家理解有所帮助
一: 先看公式: 三角函数余弦函数两角和:
cos(α β)=cosαcosβ-sinαsinβ ....................(1)
cos(α-β)=cosαcosβ sinαsinβ.....................(2)
由于 cos(-β)=cos(β), sin(β)=-sin(-β),只要证明(1)成立, 证明2的时候,即可以将β用-β代入,整理公式就可以得到(2)
所以,我们先证明1:
二: 证明: 余弦函数两角和,我们不妨设立x,y轴坐标,并建立单位圆,r=1. 按照α和β的定义去构造如下图的模型:
构造的思路: 1. 取α,β分别交单位圆 C,H, 得到坐标: H(cos(α β),sin(α,β)), C (cosα,sinα),同时在x轴下方构造一个(-β),得到B点(cos(-β),sin(β)), D(1,0)
- 考察含黑色虚线的三角形:HOD 和三角形COB 两个三角形全等,边角边(全等) 则
HD= BC ,利用点到点的坐标轴距离公式: =
为了方便计算,我们取,将H,D,坐标轴 和B,C坐标轴代入方程左右:
左右整理,并利用 恒成立公式得到
2-2cos(α β)=2-2(cosαcosβ-sinα.sinβ)
即: 证明
cos(α β)=cosαcosβ-sinαsinβ
二: 总结归纳:
1.只需要记住这个和公式,就可以推出差公式,
2.在理解记忆上,余弦函数两角和差=两角余弦-/ 两角正弦 : (展开后符号相反即可)
希望对你有帮助,
