在网上翻到一个非常有意思的问题:
这个问题乍看起来无厘头,但实际上是个非常深刻的问题,涉及到抽象代数(abstract algebra)的一些基本概念,因此我打算写篇文章来详细阐述一下。
人类的数学从数数开始,最早诞生的概念是自然数(natrual number)。后来随着数学应用范围的扩大,又产生了新类型的数。
初中时我们对数的体系做了详细地介绍
到了高中我们又学了集合的概念,从集合的角度来研究数。为了叙述的方面,我们把由不同类型的数组成的集合用一个字母来表示,我们学过的有如下几个:
- 自然数集:N
- 整数集:Z
- 有理数集:Q
- 实数集:R
- 复数集:C
相信很多小伙伴在这里也会碰到同这位网友一样的疑问:无理数(irrational number)也是很重要的数的类型,为什么它们的集合没有字母表示呢?是书上忘了讲,还是说数学家懒得起名字?
其实,无理数集没有用字母表示是有其中的道理的,要弄清楚这个道理,就得先弄清楚三个基本概念:集合(set),二元运算(binary operation),和封闭(closed)。
基本概念- 集合
集合这个概念我们已经很清楚了,指的就是具有某些特定性质的元素做成的集体。当然关于集合的精确定义还有很多需要讨论,但是理解到这个层次也就足够了。
- 二元运算
二元运算我们其实也已经很熟悉了,但是之前没有给它做出过精确的定义。用不太正式的语言来叙述,一个二元运算就是一种把两个数变成一个数的对应法则。比如加法就是一个二元运算,因为他把1和1变成2,把2和3变成5等等。同样道理,四则运算加减乘除都是二元运算。
不过我们一般把减法运算看作是加法运算的逆运算,把除法运算看作是乘法运算的逆运算,因此最基本的二元运算只有两种。
于是有人就会问了,既然有二元运算,那有没有一元运算呢?当然是有的,所谓的一元运算,无非就是把一个数变成另一个数呗,我们常见的,比如对数运算,开方运算,都是一元运算。但其实,所谓的一元运算,就相当于我们学过的函数。
同样道理还会有三元运算,四元运算,n元运算等等,我们不再做过多讨论。