学习数学分析的教程（数学分析和数学分析教程） - 原点资讯

(3) 在内容体系上有所变化.

在引入实数系基本定理时, 大多教材都是以确界存在定理为公理, 建立实数系的其他基本定理. 确界存在定理较抽象, 此结论的成立并不明显, 以此为公理有些突兀. 我们采Dedekind 分割定理为公理, 建立实数系基本定理. Dedekind 分割定理就是对实数轴的一个具体的分割, 形式简单直观, 很容易理解.为了分散极限定义的难度, 我们在介绍集合的有界性时, 就引入确界的定义,从而, 可以使学生更早接触极限定义中非常重要又非常难以理解和掌握的量——“ε”, 这是极限定义的灵魂, 这样, 学生对这个量的认识过程相对较长, 把极限的难度进行了分解, 也使学生对极限内涵的理解更加深刻.

在教学内容的其他部分上也进行了内容丰富, 其中, 个别地方还加入了笔者自己的研究心得和体会, 如在介绍一致连续时, 增加了对一致连续函数特征的更深入的刻画; 在级数理论中, 给出了一个新的结果, 使得对复杂结构的级数的敛散性的判断进行简单化; 对贯穿教材始终的Cauchy 收敛准则进行的强化和深入的训练, 这是体现极限思想的重要成果之一, 学生必须掌握; 这样的变化在教材中还有很多.

学习数学分析的教程,数学分析和数学分析教程(5)

(4) 在教材的编排形式上有所变化, 将数学思维和数学素养的培养、解决问题的实际能力的培养融入教材, 体现学案式的教材设计理念.

现有的通用教材强调理论体系的较多, 以教为主的多, 以理论知识的传授为主的多, 我们一直想变一变, 转变理念, 将理论知识的传授与能力的培养、数学思维和素养的熏陶相结合, 突出以学为主, 为学生提供一套“学案”, 而不仅仅是教师所用的教材或教案, 我们希望这套教材也可以称之为这样的学案. 这样的设计思想和理念体现在我们对教学内容的编排设计和对整个教材的设计上.

在内容的编排上, 我们突出了分析和总结过程, 体现对能力培养的设计思想;这样的编排是希望学生从模仿开始, 直到可以独立地进行对教学内容的分析和总结, 对数学思想的归纳和提炼, 对解题方法的分析和理解, 从理解给出的问题开始,到独立地去发现问题、分析问题和解决问题, 这是一个循序渐进的过程, 我们的教材设计体现这个过程.

学习数学分析的教程,数学分析和数学分析教程(6)

(5) 教材中还引入了一些新词汇.

这些词汇有些源于现代分析学, 如挖洞法、扰动法、降维法等, 有些是借用,如坏点、聚点、可控性、定性分析、定量分析等; 也引入了一些新的表示方法, 如表示双侧曲面侧的有侧(向) 曲面、有侧投影, 表示双侧曲面的表示方法，第二类曲面积分的表示方法如区分平面区域上的二重积分等.

教材还有其他的一些特点, 如在课后习题的设计上增加了难度, 引入了一些考研题目, 作者在教学过程中自己设计了一些题目, 增加了结构分析的题型, 学生可以通过学习逐渐去领会.

这套教材是我们辛苦工作的成果, 虽然几年前就已经成型, 一遍遍地试用, 总想让它十分完美, 当然, 这是不可能的, 因为每次使用后总感觉还有新的感悟, 需要增加新的东西, 需要在表达的准确性、逻辑性上做进一步的精雕细琢, 这就是所谓的精益求精吧; 这个过程是无止境的, 任何事物总是在发展, 在前进, 没有终结篇, 我们只能给出阶段性的成果; 我们也希望通过阶段性成果的公开出版, 接受同行、学生的检验和批判, 以改进我们的工作. 因此, 不当之处敬请批评指正, 不胜感激.

本文节选自《数学分析（一二三）（第二版）》（科学出版社，2024）前言.

好

书

推荐

学习数学分析的教程,数学分析和数学分析教程(7)

内容简介

本书是河南省“十四五”普通高等教育规划教材，共三册, 按三个学期设置教学, 介绍了数学分析的基本内容.第一册内容主要包括数列的极限、函数的极限、函数连续性、函数的导数与微分、函数的微分中值定理、Taylor 公式和L’Hospital 法则. 笫二册内容主要包括不定积分、定积分、广义积分、数项级数、函数项级数、幂级数和Fourier 级数. 第三册内容主要包括多元函数的极限和连续、多元函数的微分学、含参量积分、多元函数的积分学.

本书在内容上, 涵盖了本课程的所有教学内容, 个别地方有所加强;在编排体系上, 在定理和证明、例题和求解之间增加了结构分析环节, 展现了思路形成和方法设计的过程, 突出了教学中理性分析的特征; 在题目设计上, 增加了例题和课后习题的难度, 增加了结构分析的题型, 突出分析和解决问题的培养和训练.

读者对象