数学分析教材哪个最好

Α. Я. 辛钦（A. Я. Хинчин，1894－1959），苏联数学家、数学教育家，现代概率论的奠基人之一，莫斯科概率学派的开创者。1939年当选为苏联科学院通讯院士，1944年当选为俄罗斯教育科学院院士。

共发表了一百五十多种数学及数学史论著，在函数的度量理论、数论、概率论、信息论等方面都有重要的研究成果。

本书原是作者在国立莫斯科大学为工程师授课的教案。书中选材独到，叙述深入浅出，即使是只学过最简单的数学分析课程的人也能容易地阅读和理解。短短八讲，不仅让你了解数学分析的概貌，更让你领会数学分析的精髓。

这本由著名苏联数学家和数学教育家辛钦潜心编著的经典教材，思路清晰，引人入胜，全面梳理了数学分析的主要内容，涉及连续统、极限、函数、级数、导数、积分、函数的级数展开以及微分方程等主题。

来源 | 《数学分析八讲（修订版）》

作者：［苏］А. Я. 辛钦

译者：王会林齐民友

译后记

这本书的另一位译者王会林已经看不到自己的劳动成果了. 王会林是武汉大学数学系1969年的毕业生, 后来长期在襄阳师范专科学校教数学. 1996年, 他有幸作为访问学者, 重回母校再读一年. 可惜进修尚未完成, 他就因肝病不幸辞世.

当时我们曾讨论, 如果学习某个专门的分支, 学完后写篇文章, 短期内也许会受益, 但是过一段时间, 学到的东西就会逐渐淡忘, 自己的工作水平也不会有太大进展, 那么这样做有什么意义呢?

于是, 我们决定找一个共同有兴趣的问题 ——“怎样教好数学分析课”, 在这一段时间里认真思索一下. 这么多年来, 他一直在教这门课, 而我却多年没有接触它了. 不过, 最初担任教学工作时, 我一直教这门课, 所以始终关心这个问题.

辛钦这本书从1953年起一直陪伴着我. 这一次, 我又把它找了出来. 虽然时过40年, 但仍感到它极有价值. 王会林懂俄文, 于是我们决定一同把它翻译出来. 这本书的出版, 一方面是希望对当前的教学有所助益, 另一方面也是对这位数十年默默奉献精力于斯的普通教师的纪念. 作为一名普通的教师, 总要不断地改进自己的工作, 逐渐形成一些看法, 以期有利于青年学生. 所以借此机会, 把我们这段时间常谈的一些问题记录于此.

数学分析的“主要矛盾”是什么? 是“ ”, 这恐怕是最常听到的答复. 数学分析是高等数学的入门, 它的产生就是为适应通过数学工具描述自然和社会现象的需要.

因此, 真正要注意的是, 为何应用微积分来说明自然和社会现象(当前对经济现象的数学研究是十分引人注目的), 寻找其客观规律. 这决不是在习题中增加一些“应用问题”就能奏效的, 因为这些应用问题, 例如计算重心、体积、面积等, 都是完全程式化了的材料.

这是改进数学分析教学最大的困难, 很需要通盘考虑教师培训、教材编写、建立新的教学环节(如建模), 以及所有数学、物理(还有计算机科学)课程的教学, 这里不再细说.

至于“ ”, 这确实是一只拦路虎. 学微积分(即数学分析)的学生大概有两种. 一种只需要大体懂得其基本的内容, 学会一些运算技能, 能解决一些比较容易的典型问题, 学习其他课程时不至于看见微积分公式就不知所措就行了.

另一种或者是未来的专业数学工作者, 或者他所从事的专业会用到越来越多的, 甚至很新的数学知识, 这些知识又不可能都在大学里学到, 而且将来他甚至需要能够用数学的方法自己解决一些问题. 随着科学的发展, 后一类学生和专业只会越来越多.

当前经济学的发展对数学的要求就是一个有力的例证. 讲“ ”, 我们认为是对后一类学生(包括学经济的学生)的要求. 有一种做法是把这门课分成初等微积分和高等微积分, 前者适应前一部分学生, 后者适应后一部分学生. 这是美国人通常的做法. 但是这两部分互有重叠, 因此对后一部分人实在是浪费了不少精力. 不少人主张这样分划是因为感到数学分析太难, 学生不易掌握.

在我国, 把两部分合成一门数学分析固然是20世纪50年代以后的事, 但这并不是前苏联所独有的“计划经济的弊端”的产物, 欧洲大陆多少年来都是这样的. 从20世纪50年代和60年代的20年左右的实践看, 以我国高校教师的能力, 特别是针对能够进入这一类专业的高中生来看, 可接受性应该不是太大的问题.

真正的问题在于, 少数教师对“ ”过分苛求, 使数学分析成了有人戏说的“大头微积分”, 教了一年半载还在基本概念里转. 教师生怕学生不懂, 学生又学得总不对劲. 其实“ ”是一种非常简洁准确的语言, 是每一个需要较多数学知识的学生(即上述第二种学生)所必不可少的.

可是, 学会一种语言(这是一个过程, 不能希望一年级大学生就能学会)决不等于要成为一位“语言学家”. “大头微积分”的毛病大概在此. 我还曾请王会林从苏联杂志《数学科学的成就》上译了一篇“在国立拉脱维亚大学数学、物理系进行的一场大学生数学竞赛”的文章, 发表在《数学通讯》1987年第一期(44页)上.

对于函数的一致连续性定义这个“ ”命题变换了23种说法, 而且要求把适合每一种说法的函数都找出来. 读者不妨看一下, 这样要求大学生行不行? 这个材料在数学中确有用处, 我曾选用其中少数与同学们讨论, 同学们都感到得益不少. 可是这还不是问题真正所在：“ ”既然是一种语言, 重要的是它表述的究竟是什么, 为什么又一定要这样表述. 这一点, 读一下辛钦这本书定会大有收获.

例如我们通常都说定积分是和的极限, 这本书就告诉了我们为什么要说是上和的下确界、下和的上确界, 而不说是极限. 其实这是很深刻的问题. 如果一定要讲到穆尔-史密斯-沙图诺夫斯基的极限理论, 那就要求更高了. 穆尔(E. H. Moore)和史密斯(D. E. Smith)都是美国数学家, 前者是后者的老师.

沙图诺夫斯基(C. O. Шатуновский) 则是乌克兰数学家, 可惜西方人一般不知道他. 他们的理论现在常称为网的理论, 在点集拓扑学书上常有介绍. 而在数学分析教材里, 可以参看菲赫金哥尔茨《微积分学教程(第三卷)》(高等教育出版社, 2006)的“附录：极限的一般观点”.

1937年, 法国数学家嘉当(Henri Cartan, 布尔巴基学派的领袖人物之一)又把它发展为“滤子”理论, 这是值得注意的. 本书提出的一些问题, 例如第二讲第一节末怀疑自变量“x的极限等于a”这句话究竟有没有意义; 又如积分学一讲尽量避免说积分就是“积分和的极限”, 都可以由此得到很好的解释. 现在也有一些数学分析教材[例如B. A.卓里奇的《数学分析(第一卷)》(高等教育出版社, 2006)]就作了很好的介绍.

但这对一般大学生而言就是“语言学家”的要求了. 甚至对于大学生们, 就选择一个积分和系列、定义其极限为定积分也无不可(至少对于连续函数的积分). 但作为一名教师, 懂得这一点确是必要的. 相信不少读者读了这本书定然有恍然大悟的感觉. 特别是第一讲讲实数理论等是十分精彩的.

读了这本书, 读者会感到辛钦确实是一位了不起的教师. 他写的《数学分析简明教程》在20世纪50年代末、60年代初在我国风行一时. 依我拙见, 比他写得更好的教材至今还是凤毛麟角. 教师自己能“恍然大悟”, 又能理解自己的学生, 处处有分寸感, 这样的教学定会是成功的.

近年来常谈一个问题, 即数学课程的现代化. 有不少同志主张讲一点外微分, 有一些同志主张加上一点样条函数, 等等. 我的看法是顺其自然, 不求一律为好. 本来, 不同的学校, 不同的教师, 对同一门课就会有不同的讲法, 这也是古今中外概莫能免的事.

我曾分析了一些著名的教材. 例如英国人哈代的《纯数学教程》(人民邮电出版社, 2009), 如果联系Titchmarsh(也是英国人)的《函数论》, 二者何其相近? 而Goursat(法国人)的《分析教程》与Courant(德国人)的《微积分和数学分析引论》(科学出版社, 2005), 谁也看得出来在风格上是大相径庭的. 但是所有这些书, 在基本内容上均无二致.

因此, 如果一位教师自己喜欢几何, 或者自己的研究工作常用外微分, 教教学生, 如有一定分寸, 自然无可厚非. 其他教师各有自己的绝招, 怎么可能划一? 重要的是, 一要注意到科学发展的总趋势. 当前十分清楚的是, 数学与物理、工程、社会科学的一些部门, 特别是经济学、计算机科学的接近. 这一点前面说过, 此处不再谈.

二要考虑是不是忽略了最基本的东西的变化. 基本的东西是比较稳定的, 因此是教学中要大为着力之处. 可是, 就连最基本的东西也会有些变化. 举一个例子, 本书关于海涅!--!博雷尔引理的叙述是有毛病的(见13页). 海涅!--!博雷尔引理实际上是紧性的定义, 如作者所说, 紧性是“时代稍晚些才产生的”.

本书中涉及紧性之处, 总使人感到作者未能运用自如, 与其他章节之如行云流水有些不同. 辛钦是20世纪的大数学家, 他从30年代起就有大贡献于概率论等方面, 而紧性虽是拓扑学中的根本问题, 与辛钦所专长的领域却有些距离.

如果说数学的发展甚至使辛钦这样的大人物尚有难于运用自如之处, 对于我们这样的普通人则更是如此. 所以, 要想做一名好教师, 就要不断充实自己. 这一点也只能顺其自然, 尽到努力而已.

译文加了一些注解, 一是改正一些错误, 二是对某些应注意的问题作些说明, 希望能与作者写作此书的宗旨一致.

齐民友

1998年5月

数学分析教材哪个最好,(1)