泛函分析是分析数学中一个年轻的分支，作为古典分析观点的推广，它综合函数论、几何、代数的观点研究无穷维向量空间上的函数、算子、和极限理论。到20世纪四五十年代成为一门理论完备、内容丰富的数学学科。
泛函分析的产生
19世纪以来，数学的发展进入了一个新的阶段：
- 出于对欧几里得第五公设的研究，引入了新的几何学——非欧几何；
- 出于对于代数方程求解的一般思考，建立并发展了群论；
- 数学分析的研究又促进了集合论的诞生。
19世纪的新数学理论都为用统一的观点把古典分析的基本概念和方法一般化准备了条件。数学家开始着手分析学的一般化工作：
- 瑞典数学家弗列特荷姆和法国数学家阿达玛发表的著作中，最先出现了把分析学一般化的萌芽；
- 希尔伯特和海令哲则开创了“希尔伯特空间”的研究；
- 到20世纪20年代，一般分析学开始在数学界逐渐形成，也就是泛函分析的基本概念；
- 在20世纪30年代，泛函分析成为数学中一门研究无限维线性空间上的泛函数和算子理论的独立学科。
由于分析学中分析、代数、集合的许多概念和方法存在相似的地方。比如：应用逐次逼近法既能用于代数方程求根，也能用于微分方程求解，并且两类方程有着极其相似的“解的存在和唯一性条件”。这种相似性继续在积分方程论中得到表现。
正是分析学中这些乍看起来不相干，却存在着类似的东西，启发了数学家从中探寻一般的、真正属于本质的东西，从而促进了泛函分析的产生，使得古典分析的基本概念和方法得到一般化、几何化。
非欧几何的确立，数学家认识到了n维空间几何，于是多元函数可以用几何学的语言解释成多维空间的影响。分析和几何之间的这种相似的联系，使得分析几何化成为一种可能，这种可能性要求把几何概念作推广，以至把欧氏空间扩充成无穷维数的空间。
在无穷维空间中，为满足现代数学的发展要求，函数概念也被赋予了更为一般的意义：不同于古典分析中的函数概念是指两个数集之间所建立的一种对应关系；考虑的函数关系是建立两个任意集合之间的某种对应关系，其中无限维空间到无限维空间的变换叫做算子。可以把不同类型的函数看作是“函数空间”的点或矢量，从而得到个一般的“抽象空间”概念。
泛函分析的内容
泛函分析是研究现代物理学的一个有力工具。n维空间可以用来描述具有n个自由度的力学系统，然而要对具有无穷多自由度的力学系统进行描述，需要新的数学工具。一般来说，从质点力学过渡到连续介质力学，就是有穷自由度系统过渡到无穷自由度系统。现代物理学中的量子场理论就属于无穷自由度系统。
研究有穷自由度系统要求 n维空间的几何学、微积分学作为工具，研究无穷自由度的系统需要无穷维空间的几何学和分析学，这正是泛函分析的基本内容。正因为如此，泛函分析也被通俗的叫做无穷维空间的几何学和微积分学。古典分析中的基本方法是用线性的对象去逼近非线性的对象，泛函分析仍然沿用了这一思路。
发展到现在，泛函分析以其他众多学科所提供的素材来提取研究的对象和某些研究手段，并形成了许多重要分支。分支如下图所示：
泛函分析的发展也强有力地推动着其他分析学科的发展，是建立群上调和分析理论的基本工具。它在微分方程、概率论、函数论、计算数学、连续介质力学、量子物理、控制论、最优化理论等学科中都有重要的应用。近年来，泛函分析的观点和方法在工程技术方面也获得了更为有效的广泛应用。
