小学生的数学思维模式大多为“纯粹的定量计算,试数,或者是找规律”,而真正在性质层面的分析几乎为0。
唯独数论,需要我们进行“定性分析”,也就是依据“性质”来分析。这种独有的特征使得数论对孩子严密的分析能力有着较高的要求。奇偶性问题作为数论的组成部分,在小升初或杯赛中通常考察两个方面:一是联系生活考察学生的探究操作能力和实际运用能力;二是结合其他代数知识点来考察学生的综合分析能力。
两个定义①奇数:被2除余1的数,用2k 1表示(k为整数)。
②偶数:被2除没有余数的数,通常用2k表示(k为整数);因为0被2除没有余数,所以0也是偶数。
三个性质①性质1:偶数±偶数=偶数;奇数±奇数=偶数;偶数±奇数=奇数;
②性质2:偶数×奇数=偶数;奇数×奇数=奇数;偶数×偶数=偶数;
偶数÷奇数=偶数;奇数÷奇数=奇数;偶数÷偶数=偶数;
③性质3:任意2个整数a、b ,a b与a-b、a×b与a÷b同为奇数或同为偶数。
两个问题①奇偶性操作性问题——看最终要达到什么效果
即弄清一件事情的初始状态,进行偶数次操作,会回到初始状态;进行奇数次操作,会和初始状态相反。
【例】桌上放有2013枚正面朝下的硬币,第一次翻动其中1枚,第二次翻动其中的2枚,第三次翻动其中的三枚,……第2013次翻动2013枚,经过2013次翻动后,能否使这2013枚硬币正面朝上?说明理由?
【解析】
开始时每一枚硬币都是正面朝下,要使所有硬币正面朝上,则每一枚硬币都需要操作奇数次。一共操作的次数为:1 2 3 …… 2013=(1 2013)×2013÷2=2013×1007,相当于2013枚硬币,每一枚都操作了1007次,即2013个奇数1007相加,所以这2013枚硬币都可以操作奇数次,故这2013枚硬币都可以正面朝上。
②结合代数知识综合考察——设数列式
即先根据题目设需要的未知数,然后列式,根据奇数和偶数的运算性质分析式子的结构,进而判断式子的奇偶性。
【例】能否找到一个自然数,使其加上24和减去30所得两个数为完全平方数?
【解析】
设这个数为x,这两个平方数分别为a×a和b×b
x+24=a×a①
x-30= b×b②
①–②得:54=a×a-b×b
54=1×54=2×27=3×18=6×9
a×a-b×b=(a+b)×(a-b)
因为a+b和a-b同为奇数或者同为偶数
而54的所有分解中都是一个奇数和一个偶数在相乘
所以不成立,故找不到。
【例】“走进数学王国”竞赛武昌区共有2010位同学参加,每人都要答15道题,若初始分为15分,规定:答对一题给5分,不答扣1分,答错一题扣3分,则最后得分必定是( )(填“奇数”或“偶数”)
【解析】
设答对x道题,不答y道题,则答错(15-x-y)道题
每人得分为15+5x-y-3×(15-x-y)=8x+2y-20
因为8x是偶数,2y是偶数,20也是偶数
所以8x+2y-20也为偶数,故最后每人得分为偶数
所以2010位同学总分也为偶数。