费马猜想
1637年左右，法国数学家费马在阅读丢番图《算术》拉丁文译本时，在第11卷第8命题旁写道：“将一个立方数分成两个立方数之和，或一个四次幂分成两个四次幂之和，或者一般地将一个高于二次的幂分成两个同次幂之和，这是不可能的。关于此，我确信已发现了一种美妙的证法 ，可惜这里空白的地方太小，写不下。”
1994年，普林斯顿大学英国数学家安德鲁·怀尔斯和他的学生理查·泰勒于1994年成功证明。证明利用了很多新的数学，包括代数几何中的椭圆曲线和模形式，以及伽罗华理论和Hecke代数等，安德鲁·怀尔斯由于成功证明此定理，获得了1998年的菲尔兹奖特别奖以及2005年度邵逸夫奖的数学奖。
四色猜想
1852年，弗南西斯·格思里在给地图着色时，发现了一种有趣的现象，每幅地图都可以用四种颜色着色，使得有共同边界的国家着上不同的颜色。也就是说，将平面任意地细分为不相重叠的区域，每一个区域总可以用1，2，3，4这四个数字之一来标记，而不会使相邻的两个区域得到相同的数字。
1976年，美国数学家阿佩尔与哈肯在美国伊利诺斯大学的两台不同的电子计算机上，用了1200个小时，做了100亿次判断，终于完成了四色猜想的证明。
四色问题研究过程中，不少新的数学理论随之产生，也发展了很多数学计算技巧。不仅如此，“四色问题”在有效地设计航空班机日程表，设计计算机的编码程序上都起到了推动作用。
哥德巴赫猜想
1742年6月7日，哥德巴赫写信给当时的大数学家欧拉，提出了以下想法：任何一个大于等于6的偶数，都可以表示成两个奇质数之和；任何一个大于等于9的奇数，都可以表示成三个奇质数之和。比如77，可以把它写成三个素数之和，即77=53 17 7；又如461可以写成257 199 5，仍然是三个素数之和。这就是著名的哥德巴赫猜想。
1742年6月30日欧拉先生给哥德巴赫回信：这个命题看来是正确的，但是暂给不出严格的证明。同时欧拉对上述命题做了修改：任何一个大于2的偶数都是两个素数之和。这个欧拉版本是现在常见的猜想陈述，亦称为“强哥德巴赫猜想”或“关于偶数的哥德巴赫猜想”。1966年陈景润证明了'1 2'成立，即'任一充分大的偶数都可以表示成二个素数的和，或是一个素数和一个半素数的和'。
从关于偶数的哥德巴赫猜想，可推出：任一大于7的奇数都可写成三个质数之和的猜想。后者称为“弱哥德巴赫猜想”或“关于奇数的哥德巴赫猜想”。弱哥德巴赫猜想尚未完全解决，但1937年时前苏联数学家维诺格拉多夫已经证明充分大的奇质数都能写成三个质数的和，也称为“哥德巴赫-维诺格拉朵夫定理”或“三素数定理”。
蜂窝猜想
4世纪古希腊数学家佩波斯提出：人们所见到的、截面成六边形的蜂窝，是蜜蜂采用最少量的蜂蜡建造成的。他的这一猜想被称为蜂窝猜想。
匈牙利数学家陶斯巧妙地证明在所有首尾相连的正多边形中，正六边形的周长是最小的，但他没有证明如果多边形的边是曲线时的情况；黑尔在考虑了周边是曲线时，无论是曲线向外突，还是向内凹，都证明了由许多正六边形组成的图形周长最小。
冰雹猜想
角谷猜想又称冰雹猜想，它首先流传于美国，然后传到欧洲，后来有一位叫角谷的日本人带到亚洲，所以称为角谷猜想。
1976年的一天，《华盛顿邮报》于头版头条报道了一条新闻，记叙美国各所名牌大学校园内，人们都像发疯一般，废寝忘食地玩弄一种数学游戏。这个游戏十分简单：任意写出一个自然数N（N≠0），并且按照以下的规律进行变换：如果是个奇数，则下一步变成3N 1。如果是个偶数，则下一步变成N/2。
人们发现，无论N是怎样一个非零自然数，最终都无法逃脱回到谷底1。例如x=52，可以陆续得出26，13，40，20，10，5，16，8，4，2，1。如果再做下去就得到循环：(4，2，1)，再试其他的自然数也会得出相同的结果。
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