作者 | 张鹤
来源 | 摘自《唤醒思维的数学书：思考是一种安静的力量》一书序言部分，作者张鹤，中国大百科全书出版社，“好玩的数学”获授权转载，在此感谢！
2009年，杂交水稻之父袁隆平院士回到中学母校，谈到了他学习数学的一段往事。
他开玩笑似的自曝，说读中学时数学成绩不太好，这怎么可能呢？原来在他上初中的时候，有一次上课学“正负数运算”，他的数学老师讲“负乘负得正”。他想不明白为什么：正数乘正数得正数，好理解；为什么负数乘负数也得正数呢？
他去问数学老师，但是他的数学老师也没有把“负负得正”讲明白，让他记住这个结论会做题就行了。
袁隆平院士幽默地表示，从此他对数学就不感兴趣了，数学也就没有学好了。
1、要培养独立思考问题的习惯
其实故事听到这里，我们了解到袁隆平院士从小就非常喜欢独立思考问题，喜欢刨根问底，不轻易接受一个结论，这是一个学生学习知识时最宝贵的素质。
这个故事也从另外一个侧面告诉我们：在数学学习中强调死记硬背结论，会浇灭原始的、强烈的求知欲.因为对数学知识背后的原理的追问，正是我们喜欢学习这门学科的最大动力。
如何解释“负负得正”呢？
北京航空航天大学的李尚志教授是这样解释的：“一个人站在你面前，如果面对你为正，向后转为负，从面对你开始连续后转两次，就又面对你了”，相信这样一个形象的比喻，已经把“负负得正”解释清楚了。
想当年如果袁隆平院士能够听到这样的解释，也许他会喜欢上数学，没准一不留神，会成为一名在数学领域有成就的科学家呢。
我们在学习数学的时候，如果能够学会提出问题、能独立思考数学问题，你也就会觉得，学习数学是挺有意思的一件事情了。
2、要明确学习数学的价值
为什么学数学？数学学习的价值是什么呢？这个问题看似简单，但不是所有人都能说清楚的.2015年的暑假，我在南京参加一个教育部组织的学术会议。
这个会议不仅邀请了大学教授、中学教师、教研员，还请了学生家长，大家共同探讨八年级数学的教学及评价问题。
在一次分组讨论时，一位家长代表、显得很干练的女士的发言引起了我的关注，这位家长说，她自己在上学的时候，数学学得非常好，但是她感觉现在自己孩子学的数学知识太多，她对此有点困惑，她说：“我数学成绩很好，工作上也没用上什么呀？为什么要学习这么多的数学知识呢？”
听完这位家长的发言，我问道：“您是做什么工作的呢？为什么说数学对您的工作没有起到作用呢？”她告诉我，她是一名法官，中学的数学知识都没用上。
我笑着说：“中学学到的知识在您的工作中的确没有用上，如三角形内角和定理、勾股定理等，还有学平面几何时证明了那么多的题目，这些知识您也许都忘记了，的确不会影响您的工作，但是，您作为一名法官，一定是具有严谨的逻辑思维能力的，这种思维能力又是从哪里得到的呢？这不正是您数学学得好的结果吗？”这位女法官被我的一席话点通了，不再纠结于孩子学习数学的价值。
可以看出，数学这门学科对人的影响是潜移默化的，有的时候让人都没有察觉。
有一次，我去一所学校给高一新生上一节数学方法的指导课，我在上课前就向全体学生提出了一个问题：我们为什么要学习数学呢？一个男同学的发言给我留下了深刻的印象，他非常干脆地说：“学数学是为了培养我们的逻辑思维能力.”这个回答太完美了！
可以说，在中学阶段，学习数学的最大价值在于培养逻辑思维能力。数学知识仅仅是数学学习的载体，我们通过知识的学习，要学会理解知识的思维方法，要掌握解决数学问题的方法，要会用数学的思想、观点认识世界。
3、想明白、说清楚
那么，如何学好数学呢？
要学好数学，首先要做到“想明白、说清楚”。
什么叫想明白呢？袁隆平院士不就是对“负负得正”想不明白，才不喜欢学习数学的吗？想明白，就是指动脑筋，要思考，如果我们在做数学题的时候，连题目说的是什么都不清楚，就匆匆忙忙去做题，怎么可能真正解决问题呢？
说清楚，就是要能够用自己的语言把自己对数学问题的理解表达出来，这种表达是对数学思维的最好训练，只有想明白的人，才能够说清楚，说不清楚的，一定是还没有想明白。
我听过一节“化简求值”的七年级数学课，这节课中的一个男同学的思维活动给我留下了深刻的印象，全班同学在老师的带领下解决这样一个问题：
当x=-1时，ax bx 1=6，那么，x=1时，求 ax bx 1 的值。
这是初中按照“整体代入”的思维进行计算求值的常规题目。
标准的解法：将 x=-1 代入到 ax bx 1=6 后得到 a b=-5，再将 x=1 代入到 ax bx 1，得 a b 1，从而得到结果 a b 1=-5 1=-4。
一位小男生走到黑板前谈了自己的一个想法。他认为，只要是式子 “ax bx” 中的 x 取两个互为相反数的值，不论 a、b 取多少，这两个值的和都是零。因此，可以利用这条性质求值。当 x 分别等于 1 和 -1 时，两个式子的和为 2，知道了前者为 6，那后者一定就是 -4 了。
他的想法实际上就是高中函数非常重要的奇函数性质，当然，刚刚进入中学的七年级小男生并不了解函数的这个性质，甚至什么是函数也许还不是太清楚，但在课堂中，他的数学思维已经进入了变量思维，已经在用函数的思维方式思考问题和解决问题了，这是一个真正“想明白”了的同学！
按照方法二解出答案后，喜悦之情洋溢在小男生和老师的脸上，在分享他们喜悦的同时，我们是不是也能够学好数学的方法呢？
下面，举一个我儿子高三复习的例子：
我儿子是2008年参加高考的，在高考前的最后阶段，我问他数学复习还有没有问题，他告诉我，解析几何的综合题还没有太大的把握，我就和他约定，每天放学后到我的办公室，一起来讨论问题.每次他来我的办公室，我都是给他准备一道解析几何的综合题，让他先做，然后让他给我讲他的思路，如果我听明白了，就过了；如果他讲不清楚，甚至做不出来，我们就一起分析、讨论，直至做出这个题目，在这个过程中，我始终没有直接告诉他解决问题的方法，而是启发他自己找到方法.经过这样近一个月的讨论，就到了高考的日子了，2008年北京卷数学理科的19题，也就是解析几何的那道综合题，他做得很顺利。出了考场儿子告诉我，只花了10分钟就做完了，而且自信一定做对了。
作为学生的我们，在学习数学知识的时候，要喜欢思考问题、研究问题，要努力做到想明白、说清楚.这样，我们就一定能够从数学的学习中享受到思维的快乐。
4、走出误区：做题越多，数学的能力越强吗？
学数学，都离不开做题目，做数学题的目的是什么呢？
每当数学考试成绩不太理想的时候，家长就常常怪我们做数学题目太少，似乎做题目的数量多少和解题能力的强弱有着直接的关系。
我曾经问过学生，解题方法是多好还是少好？很多学生都认为：解题越多，见的套路就越多，方法也就越多，这样解题的能力就会越强了。
正是由于很多同学包括家长是这样理解数学学习的，因此，为了学好数学，很多学生希望通过多做数学题来提高数学成绩。
这种认识和做法，有点像竞技体育的运动员的训练，2017年世界乒乓球锦标赛上，中国队再次取得了优异的成绩，在比赛转播时，评论席上的解说员在谈到运动员的训练时说，为了取得好成绩，乒乓球运动员每天都要进行大运动量的训练，对手打过来的球如果思考对策后再打回去就来不及了，要训练到凭感觉把球打回去。这是竞技体育的特点，大运动量、高强度的训练的确可以提高比赛成绩。
但数学学习不是这样的，它是以思维活动为主要内容的.我们在想问题的时候，并不需要很快动手操作，拿到数学问题的时候你别着急去算，先把问题看懂，不能在平时学数学的时候，就是考试的“状态”，用操作替代思维活动，时间长了，你可能就不会想了，不会用数学的思维方法理解数学问题了，我们不能用类似运动员训练的方法学习数学，换句话说，大量地、重复性地做一些题目，有些时候效果未必好，原因在哪里呢？
学数学是要学会数学的思维方法，而思维是离不开人的思维活动的.盲目做题、套用方法做题，追求做题越熟练越好、不用想就会做题等，都不是好的学习数学的方法，因为这样的学习，看似很勤奋，但是没有思维的投入，就是没有学到“点”上。
题目的确要多做，但是要清楚，做数学题的目的是学会理解数学问题，从研究数学对象的性质和关系中找到解决问题的具体方法，当你做了10道、20道题目之后，就要想一想，这些问题在解决方法上有没有共性的地方？数学问题的形式可以是多种多样的，但是研究数学对象的性质和关系的方法是有限的，我们所运用的解决问题的具体方法，都是通过运用研究出来的数学对象的性质和关系得到的，从这个意义来说，你会不会解决数学问题的关键，在于是不是具备研究数学对象的性质及关系的能力。
总之，学习数学的目的是培养我们的数学思维能力，要学好数学，我们就要勤动脑，学会用数学的思维方法理解并解决数学问题。
思考是一种安静的力量，来读这本书吧，让我们投入一场数学思维的盛宴中去！
唤醒思维的数学书
——思考是一种安静的力量
作者：张鹤
出版社：中国大百科出版社
出版时间：2020年1月
作者简介>>
张鹤，北京市海淀区教师进修学校数学教研员，北京市特级教师，北京市正高级教师。中国教育学会中学数学教学专业委员会第八届理事会常务理事。苏步青数学教育奖二等奖获得者。人教社《普通高中教科书 数学（B版）必修第一册》主编。著有《分享数学智慧的人》《数学教学的逻辑——基于数学本质的分析》等。
作者寄语：唤醒数学思维，让理性闪耀灿烂的光芒！
