欧拉的传世名著《无穷分析引论》，正是在这部书里提出了欧拉公式
接下来我们从现代数学的观点来看一下这个公式的由来。
2.复变函数要做的第一件事情就是把函数从实数推广到复数，即考虑定义域与值域都是复数的函数，这样的函数我们称为复变函数。简单的来写，就是
这里x，y都是自变量，u，v都是因变量，因此我们写成更清楚的形式：
这里u(x,y)和v(x,y)都是关于x和y的二元实值函数，因此在复变函数里面我们普遍的做法就是将其看成两个实变函数。从而可以定义复变函数的极限，导数与积分。
当然，理论上u(x,y)和v(x,y)可是任意两个实函数，它们之间彼此可以没有任何关系。是这样的话研究起来没有太大的意义，我们希望它还是有某种关系的。最主要的是我们希望让函数是可微的，这样研究起来才有意义，于是我们就有以下一个非常重要的结论。
3.柯西-黎曼条件我们知道，一个实值函数在某一点可微，是需要满足一定条件的。同样道理，一个复变函数要想在某一点可微，也需要满足的一些条件，而且更加严格。它不仅要求在这一点u(x,y)和v(x,y)都是可微的，还需要满足一个附加条件，即在这一点需要满足
这个条件是如此之重要，被称为柯西-黎曼条件。一个公式里面同时出现两位数学大神的名字，也是不多见。
这个条件是个充要条件，意思是说如果函数可微则一定满足这个条件；反过来，如果满足这个条件，则函数一定可微。证明起来也比较容易，只需要利用可微性的定义：自变量的差值减去因变量差值的常数倍是一个因变量差值的高阶无穷小。同学们可以很轻松地利用这个定义，把柯西-黎曼条件自己推导出来。
