容斥原理就是包含与排除的原理，要理解它，我们只需要画图分析即可得到相应的计算公式。
某班有60名同学，其中47人会乒乓球、40人会篮球、35人会羽毛球，25人乒乓球篮球两种球类都会，27人篮球羽毛球两种球类都会，22人乒乓球羽毛球两种球类都会，没有人什么都不会，问有多少名同学3项球类运动都会呢？
这是一个标准的三集合容斥原理的题，按照Venn图可以得到下列的算式（其中包含的部分则用“ ”号，排除的部分用“-”），其中x为：
60=47 40 35-25-27-22 x，可以求得x=12。
容斥原理示例图及计算公式1
某班有60名同学，其中47人会乒乓球、40人会篮球、35人会羽毛球，会其中两样球类运动的学生为32人，什么都不会的学生为10人问有多少名同学3项运动都会？
同样的方法，画图，可以得到60-10=47 40 35-32-2x，其中x为三种运动都会的学生数量。
求得x=20。
容斥原理示例图及计算公式2
有些题，需要做一些分析处理后，才能利用容斥原理。比如，求以105为分母的最简真分数有多少个？
第一步，需要明确最简真分数是指分子小于分母，且分子和分母互质的分数。
第二步，将105分解质因数，105=5*21=5*3*7=3*5*7。
第三步，分析并使用容斥原理公式。
从1到105中，能够被3整除的数有105/3=35个；
从1到105中，能够被5整除的数有105/5=21个；
从1到105中，能够被7整除的数有105/3=15个；
从1到105中，能够被3、5整除的数有105/15=7个；
从1到105中，能够被3、7整除的数有105/21=5个；
从1到105中，能够被5、7整除的数有105/35=3个；
从1到105中，能够被3、5、7整除的数有105/105=1个；
利用图1中的容斥原理示例图及计算公式，可以得出分子中有：35 21 15 -7-5-3 1 =57个与105之间有不为1的公因数。
所以，最简真分数的个数为：105-57=48个。
我计划写的一些有关数学方面的内容，是通过一些典型的题目，以帮助到那些没有进行奥数等系统训练的同学培养数学思维，没有特别大的难度，只是希望力求让孩子们掌握其思想方法。本文中讨论的容斥原理，在很多小升初的考试中都有出现，很多时候求阴影部分的面积，也可以采用容斥原理，可以得到两个半圆的面积之和减去三角形的面积就是阴影部分的面积。
利用容斥原理求解阴影部分面积示例图
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