最后方程组的解用参数s, t表示变成：
由于s, t是任意数，所以这个方程组有无穷解，上述过程中我们用了反代方法，即把x4当做已知的参数t, 然后带入第三个方程，依次类推，得出每个变量，这种方法叫反代法。
那么问题是什么时候方程组有唯一解，什么时候方程组有无数解，什么时候方程无解？这就要引出秩（rank）的概念。
秩的定义：矩阵A的秩是任意矩阵A经过行变换化成阶梯矩阵后，行的首元为1的个数。
例题：求矩阵A的秩。
解：按照高斯消元法，将矩阵A化为行的阶梯矩阵有，
因为行的阶梯矩阵首元为1共有两个，所以r=2.
假设矩阵A是mxn矩阵， 即有m行和n列。那么r≤m是因为首元1位于不同的行中，同理r≤n，是因为首元1位于不同的列中。此外, 秩对判断方程组的解有很好的应用。
下面给出方程组解的判定。
定理：假设一个包含n个变量的m个方程的所构成的方程组是有解的，并且其增广矩阵的秩是r， 那么：
1.解的集合恰好包含n - r个参数。
2.如果r <n，方程组有无穷多个解。
3.如果r = n，方程组有唯一解。
证明：增广矩阵的秩是r的事实意味着正好有r个主变量（系数为1的变量），因此正好有n - r个非主变量。这些非主元变量都作为参数赋值，所以解的集合恰好包含n - r个参数。因此，如果r <n，至少有一个参数，因而有无穷多个解。如果r = n，没有参数，所以是唯一解。
这个定理有三个含义：
1. 没有解的情况。当一行出现［ 0 0··· 0 1 ］以行梯队形式出现时，就会发生这种情况。这是方程组无解的情况。
2. 唯一的解。当每个变量都是主元变量时，就会发生这种情况。
3.无穷多的解。当系统是一致的并且至少有一个非主元变量时，就会发生这种情况，因此至少有一个参数。
最后再看一个例子，解方程组：
