撰文 | 颜一清（辅仁大学数学系）
来源 | 返朴，原载台湾中央研究院数学研究所发行的《数学传播》杂志
高斯九岁便能快速算出1到100的总和，十一岁时便能导出二项定理的一般展开式，并对无限级数的展开颇为熟稔。那么，这样一位出身贫穷的神童，他是如何一步步成为“数学之王”的呢？他如何将自己的数学才能应用于天文学的计算当中？在与自己同时代的数学家拉普拉斯、勒让德、贝瑟尔等人的交往中又发生过哪些故事？
1850年代的高斯
高斯（1777-1855），出生于德国Brünswick一穷困人家。 他从小就有算学异禀。他的才智受到当地Brünswick[注1]公爵的关注， 公爵就一直资助他完成大学教育，取得博士学位，并出版数学巨著《整数论研考》(Disguisitiones Arithmeticae）[注2]。
高斯年冠十九，就在数学上有登峰造极的表现：他突破数学史上两千多年的沉寂， 以直尺与圆规作出正十七边形的图形来。而且他维持如此杰出的研究质量达半个世纪之久。 他的研究范围广泛， 遍及纯数学与应用数学，研究内容新颖、深入。 这使他成为十九世纪科学领域上最突出的人物。 他在曲面学上的研究， 更是导引黎曼创造黎曼几何学，并诱发二十世纪初爱因斯坦作出一般相对论来。
高斯就业以后一直定居在哥廷根（Göttingen）。他去世后不久，哥廷根地方的领主汉诺威王乔治五世（George V）[注3] 为表彰他的丰功伟业，敕令铸造一个七公分直径的纪念章赠与高斯家族。纪念章边缘以拉丁文刻着“Georgius V. rex Hannoverage Mathematicorum principi”（汉诺威君主乔治五世向数学家之王致敬）[注4]。 从此， 称呼高斯为“数学之王”的名号不胫而走。
一
身世
Johann Friedrich Carl Gauss（洗礼名， 后来他常用 Carl Friedrich Gauss）在1777年4月30日出生于 Brünswick 的一贫穷劳工人家。 他的父亲叫做Gebhard Dietrich Gauss（1744-1808），母亲是 Dorothea Benze（1743.6.18-1839.4.18）。
高斯的祖先姓 Goos，是德国北部 Völkenrode 村的新教徒人家。高斯的祖父 Jürgen Goos是曾祖父 Heinrich Goos 三次婚姻中最后第二个儿子， 在家他没有什么份量，只能往外地求发展。他结婚后于 1739 年到 Brünswick-Wolfenbüttel 公国的首都 Brünswick 定居， 改姓 Gauss。 起先由于没有置产， 在当时的同业工会的限制下，只能做零工糊口。好不容易贷款购得一所小房子居住了十四年，生育三男一女。后来换房子到 Wilhelm 街30号。1774年7月5日债未还清，他就因肺病去世。他的妻子早他三个月故去。长子 Gebhard 一向帮助他父亲做工，就由他负责偿债。不过他也跟弟妹谈好，房子归他继承，弟妹分得一些现款（借来的）做为补偿。这些债 Gebhard 费了二十五年才还清。
Gebhard 在1768年与 Dorothea Vernecke 结婚， 第二年1月14日生子Johann Georg Heinrich。1775年9月5日他的妻子因肺病去世。1776年4月25日 Gebhard 与邻村的 Dorothea Bentze 再婚。1777年4月30日他们在 Wilhelm 街30号的家里生下数学天才高斯。高斯是 Dorothea 唯一的孩子。Dorothea 在结婚前当过7年女佣。 她没有正式受过教育，不会书写，印刷体字勉强可以念。
Gebhard做过各式各样的工作，最后十五年他只从事造园业。由于他会书写，也会计算，他当过一家葬仪社的会计。
高斯曾经向他的再婚对象 Minna Waldeck 描述过他父母亲：“父亲是一位老实、忠厚的人，在外头他得别人的尊敬。但是在家里他是个暴君。好在我很早就不用依靠他，彼此间的冲突较少。母亲个性坚强、明朗、善良又聪明。在我与父亲有冲突的时候，她很袒护我。我很敬爱她。”
高斯的外祖父是位石工，因工作使然的空气污染，30岁便得痨病去世了。高斯有一位舅父 Johann Friedrich，他自学成精巧的织缎人才。这位舅舅与高斯很亲，他常会讲一些话引起高斯的好奇心 ， 他觉得高斯好聪明。 当他在1809年去世时高斯悲叹：“一位生就的天才过去了。”从父母亲的祖先来看，他们都是一些农工阶级的人， 子孙能出高斯这样的神童可是个异数。
二 幼少年时代
有关高斯小时候的故事都是高斯晚年向追随他的人们说的。他记性好极，而且重复叙述中并无出入的情形，所以他的话可信度大。
高斯很小的时候家门前有一条濠沟（后来围起来）直通 Ocker 河。 春天一到， 濠沟里涨满了水。 有一次小高斯在沟边玩耍时掉进沟里， 在他溺毙前被路过的工人救起， 逃过一劫。
在夏天 Gebhard Gauss 是一家砖瓦工厂的督工，到星期六得给工人们发薪。有一回他要发薪，3岁的小高斯站起来 ：“爸爸， 算错了。”在众人目瞪口呆之下重算的结果证实小高斯是对的。
高斯7岁时进 St. Cathrine 小学。 老师是 J. B.Büttner。 班上有百来个学生。 老师在屋顶低、 地板凹凸不平的教室里拿着鞭子来回走动。 鞭子是老师教、惩两用的。高斯在这样的环境下平安无事过了两年。在高斯九岁左右时，Büttner在算术课上要学生们“写出1到100的数字来， 并求出它们的总和”。 写好的同学把运算用的石盘（当时纸张还是奢侈品） 翻下放在老师桌子上。 再来交的同学依次叠上石板。老师想，出这样的考题他可以清静一下了吧。 没想到高斯一下子就把石盘拿去老师桌上放了，说：“我交了。（Brünswick 土语， Liggest se!， 英译：there it lies）”其他小朋友汗流夹背地忙着运算。高斯静坐着， 不理会老师奇怪的眼神。结果大部分的小朋友都错了，因而挨了打。高斯的石盘只见 5050 这个数字。他给老师的解释是：1 100 = 101， 2 99 = 101， … ， 50 51 = 101。 所以 1 100 等于有50对101， 答案便是 5050 。
这件事的发生有它象征性的意义。终其一生高斯做出来的结果都是简洁而正确的。 但是众人须要它有详尽的解释。
高斯的亲戚们听到到这件事后直摇头。因为依据俗语， 神会让他宠受的人夭折，这孩子的寿命恐怕不长。
老师Büttner经历这件事后觉得他再也没有什么可教给高斯了。于是特地从汉堡为高斯买一些好的算学书如 Remer 著《Arithmetica》（在扉页上有高斯的签名及1786年12月6日字样）， 或 Hemeling 的《小算术计算书》。 这两本书都有被频繁使用过的痕迹与许多小孩子计算的字迹。
Büttner有一位助手 Martin Bartels（1769-1836）。他的工作是替小朋友削鹅毛笔，改正他们的书写等。他是白铅细工匠的儿子，住在高斯家附近。可能是 Büttner 或是 Bartels 跟高斯的父亲 Gobhord 商量过高斯往后的教育问题。做父亲的认为高斯与异母兄 Georg 一样，将来走定他自己的路子：当工人。他哪有钱供儿子念书呢？对方可能找得到高贵人士出资给高斯读书。从此顽固的父亲在晚上不再要高斯织一定量的亚麻丝，甚至把纺车带到后院劈成块，当柴烧了。取而代之的是 Bartels 与高斯常在一起挑灯夜读。他们交成好朋友。Burtels 1788年后又去读书，专攻数学，后来成为 Kasan 大学的教授。
高斯在11时便能导出二项定理的一般展开式，并对无限级数的展开很熟稔。于是神童高斯的名字传遍 Brünswick。
在 1788年经由 Büttner 或 Bartels 说服不情愿的父亲，高斯终于进入 Brünswick 的预科学校 Katharineum。在那儿学生的年龄相若。高斯早些时的地方德语也改正成官方德语了。数学老师 Helling 第一次看过高斯交的作业便批示，这么优异的学生用不着再来上他的课。高斯在那个时期又得到年长朋友 Bartels 与 J. H. J. Meyerhoff（1770-1812） 的帮助自学拉丁语与希腊语。 这些古代语言对念古典书籍是必需的。
有一天高斯看书看迷了，走进 Brünswick 公爵的御花园而不自觉。倒是公爵夫人看到了他，夫人讶异那么一个小孩难道看得懂他拿着的书？一问之下才知道真的看得懂。改天她叫仆人找高斯过来给公爵看。公爵发现这个内向、拘谨的14岁小孩的确很聪明。
Bartels在1788年进入 Brünswick 的 Caroline 高等学校，认识了那里的数学教授 E. A. W. Zimmermann（1743-1815）。Zimmermann还兼 Brünswick 公国参事，跟公爵交谊很深。Barters介绍高斯给Zimmermann。 后者便与Brünswick公爵讨论高斯这个小孩。 终于在1791年公爵引见高斯， 并决定当年6月起给高斯10个 thaler（德国旧银币） 的年金外加一些其他用费。 他还获得一些书本做奖赏，其中有一本是 Schulze 的《对数表》。高斯常常使用它， 还签上“Gauss， 1791”。
当时有习俗， 贵族或是有钱的商人会资助家境贫困人家的资优子弟读书， 以备将来他们用材之需。
高斯既然得到 Brünswick 公爵的年金念书， 做父亲的 Gobhard 再也没有理由反对他升学了。
1792年2月18日至1795年间高斯在 Caroline 高等学校学习。 这所学校在当时是德国最佳学府之一。 学校的学科新颖， 教授优秀， 图书典藏丰富。 它的教学构想除了因应生活的实际需要外还教育学生们成为新文化的舵手， 并着力培育学生们成为有自由思想与高贵情操的人。 从德国的这一类学校， 十八、九世纪人材辈出。
跟高斯一样是穷人家的孩子而得到资助进入这所学校的人当时有 Bartels、K. Ide（与高斯同行，早逝）、 Meyerhoff（订正高斯在《Disquisitiones Arithmeticae》中的拉丁文）等人。
高斯在 Caroline 高等学校期间读了许多古典文学名著， 因此他的文学素养很好。 他念的数学名著有欧拉、拉格朗日与牛顿等人的著书。 终其一生高斯对牛顿非常尊崇。 在著述方面他也学习牛顿的作风。[1]
这时候法国大革命（1789年）已然发生，但是在拿破仑挥兵攻打邻国以前，德国的一切情况还沉睡在十七世纪以来的半封建制度里。[2]
很小高斯就喜爱做数字游戏。 他算得又快又好。 在1792-1793年间高斯做质数分布的研究。 他把整数以千为等级找出其间所含的质数个数。 按照亚历山大时代的埃拉托斯特尼（276-194 B.C.），整数 p 所含质数不大于 √p， 并由筛选法可求得质数个数。 而高斯则由观察得出质数个数的增加率 D(n）= π(n）− π(n − 1000）（π(n）: 2至n间质数个数，n ≥ 1000）与
成正比。 因此由几何图形来看，
π(x），
