的诸根之间的算术关系。隔日早上还没有起床， 我已经很清晰地看到我需要的关系式。 我就立刻把它应用在正17边形上。 计算的结果证实这个方法是对的。”
1796年6月1日的《一般学艺新闻》中有高斯的告示：
一般的几何初学者都知道怎样作出正多边形， 如等边三角形、正五边形、正十五边形或是把它们的边数加倍的正多边形。在欧几里得的时代大家就已经可以做到这些了。 而从那时候起大家认为初等几何学终止在这个地步。 至少我不知道有人成功地迈出那个界线。
因此我的新发现有特别的意义。我发现不只是上述那些正多边形，还有更多的正多边形可用几何法（只使用直尺与圆规） 作出。作正十七边形的方法只是一个包括更多内容的定理的特例而已。 我还没有完全证出这个发现，等到完成后我会公开它。
——哥廷根大学数学研究学生 C. F. Gauss
这是高斯一生中仅有的一次预告他的发现。 后来“等分圆周”出现在高斯巨著《整数论研考》的第七章，正十七边形的顶点求法成为这一章的一个例子。这本书因经费与出版商的问题迟延到1801年9月29日才出版，一出版就被抢购一空，造成一时的轰动。
1891年1月6日高斯从哥廷根给他的学生兼朋友 Gerling 信， 说研究“整数论研究”所带给他的喜悦是他研究数学当中至高无上的。 即使多美的天文学上的发现所带给他的喜乐都无法与它相比。 信中他给 Gerling 简述正十七边形的求法：
高斯好得意作出正十七边形来。 他对大学时代的好友 Wolfgang von Bolyai (1775-1856） [注5] 说， 以后他的墓碑上就刻上正十七边形好了。（模仿阿基米德。阿基米德很中意他所求得的球体与其外切圆柱的体积与表面积及它们的比例 2: 3。 结果他的墓碑上就刻着一球及其外切圆柱。 多年后罗马雄辩家西塞罗做西西里长官时，在荒芜中凭这个墓碑找出阿基米德的坟墓，修复了它。）[5]。
Bolyai是匈牙利 Transylvania 地方的贵族， 晚高斯一年进哥廷根大学哲学部门。 他与高斯初次在天文学教授 Seyffer 家碰面。Bolyai 对基础数学有兴趣，便毫无忌惮地谈论数学， 就这样引起高斯对他的兴趣。 再下一次巧遇时他们便结为好朋友了。高斯工作累了，就去 Bolyai 居处休憩而往往不先发言， 甚至于不讲话。只有一次他显得很开心，那是他作出正十七边形的时候。他给 Bolyai 他算出正十七边形的笔记当做纪念。他们也交换烟斗， 每天在一定时间抽烟斗来想念对方（在高斯去世后，Bolyai 将这些东西寄去哥廷根大学留存）[6]。
高斯也带 Bolyai 徒步到 Brünswick 拜访高斯的双亲。当高斯离席时母亲 Dorotea 问 Bolyai 她儿子能否成器？当Bolyai告诉她“他是欧洲第一等的数学家呢！”时，Dorotea听得热泪盈眶。
1798年9月28日高斯学成（没有等到拿博士学位）回 Brünswick。行前他跟 Bolyai 相约一年后由 Bolyar 定出时间及地点再见一次面。他们约在1799年5月25日星期六在哥廷根与 Brünswick 中途的 Claustal 村见面。两人徒步同时到达那儿，一起攀登一座小山。在山麓上的小酒店两人含泪握手道别。他们通信到高斯去世前两年，但一直没有机会再见到对方。Bolyai 是高斯大学时代沉思、欢乐与共的朋友。 此后高斯再也没有向其他朋友那么坦诚告白他的心思了。
1840年 Bolyai 在他的回忆录中记述：“……我认识了高斯，他那时候是哥廷根大学的学生。我们一直都有友善的接触。我从来不跟他相比。他很谦虚，也不夸示。我们几年在一起，我都没有看出他的伟大。很可惜，我不懂得打开这一本无言、无题的书本来翻。我不知道他懂得多少，他倒看清楚我，但高估了我，不认为我有多渺小。我们分享对数学的热爱与对道德的信念。我们时常在一起散步，各自浸淫在自己的思考中，几个小时不交谈一言。”
高斯在哥廷根大学虽然念数学，可与天文学教授 Seyffer 熟悉， 过后也一直有书信往来。 他也喜欢物理学家 Lichtenberg、语言学家 Heyne（非诗人 Heyne），但不喜欢数学教授 W. Kästner。
四 《整数论研考》的问世
1998年9月底回到 Brünswick 后，高斯前途未卜。但他不再回父母亲家而租屋在 Wenden 街。他写信给 Bolyai，期盼公爵能在经济上继续支持他到找到工作为止。他也找过工作，但都失去机会。
当年10月他到赫尔姆施泰特大学， 使用那里的图书。馆长善待他，数学教授 J. F. Pfaff（1765-1825）也对他很友好。他在忙着完成《Disguisitiones Arithmeticae》（编注：整数论研考，也译作算术研究）这本书。11月时他已订正第五章四次，第七章基本上完成了，第八章还得花好多时间。12月中旬公爵答应继续给高斯年金158 thaler。 在这以前年金迟迟未发下，高斯以借贷度日。公爵没有立即允诺继续给高斯年金有他个人的理由：他的父亲挥霍过度，使国库干枯，几近*。公爵想了法子，才挽救了这个局面。
公爵要求高斯拿博士学位。高斯本来打算交给赫尔姆施泰特大学《Disqusitiones Arithmeticae》做为博士论文，但是印刷情况缓慢，高斯写的份量又越来越多，印刷费可观，超出预算。 因此，高斯打住出版第八章的念头。在1977年4月高斯打算另交博士论文， 选题为“代数学的基本定理”。5月他完成它交给赫尔姆施泰特大学当局。这是高斯做的有关“代数学的基本定理”第一次证明。此后他又用另一些方式给了它三次证明。
这时候他开始展现大学时代天文学教授 Seyffer 给他培养出来的兴趣：天文学。4月间他做出计算视差的公式来。他也研究算术几何平均数（arithmetico-geometric mean）、双纽线（lemniscate）与三角函数间的关系。
1799年7月16日高斯在赫尔姆施泰特大学无口试获得博士学位。公爵替他支付一切所需费用。
1799年12月高斯住在 Pfaff 家继续作他的研究。Pfaff家人一天之间只能见到高斯两三个小时。Pfaff 为高斯的健康着想，会带他出去走走，谈谈天。
当年12月23日高斯发现算术几何平均数M (a, b)与第一阶椭圆函数有如下的关系 :
