12月16日高斯给好朋友 Bolyai 信告诉他近况，还要他切记除夕（到那一天信应该已经到达） 子夜那18世纪的最后一刹那。 对高斯来说，它将是一个特别神圣的时刻：在那一瞬时，尘世会从他眼前消失不见，他的人会升华成纯净的灵魂，体会出莫大的生之喜悦。
1800年高斯的时间就花在《Disquisitiones Arithmeticaes》的完成，印刷与椭圆函数上。他住在赫尔姆施泰特到1800年的复活节。他终于决定不在《Disquisitiones Arithmeticaes》加第八章以节省印刷费。即使这样公爵还追加费用才付得清一切开支。
他又继续作椭圆函数的研究，也发表计算复活节日期的公式。据说高斯的母亲不记得高斯的生日，只晓得他在耶稣升天节前八天的星期三出生。高斯作出算式才推算出他的生日来。
1801年9月29日《Disquisitiones Arithmeticaes》终于出版了，费用全由公爵支付，书一下子被卖光，行家激赏。
在书的序文中高斯把这本书呈现给Brünswick公爵，文辞中充满谢意。他写：“倘若没有公爵您的支持，我无法毫无牵挂地从事生就心仪的数学研究达数年之久。没有您的雅量与支撑，我就无法除去迟缓出版这本书所遭遇到的所有障碍……” 公爵的名字因这篇序文而永存。
《Disquisitiones Arithmeticaes》以拉丁文写成，而高斯为求文笔的流畅还请他的朋友，拉丁文专家 Meyerhoff 改正。这本书被称为“有七个封印的书”，意即由七章所成的艰深、难读的书，连专家都不容易看懂。书中那简洁的综合性证明所蕴涵的宝藏经由他的后进狄利克雷（P. G. Lejeune Dirichlet，1805-1859） 及后来的克莱因（Felix Klein，1849-1925）[4]等人的解，众人才能得以分享。
这本书的前三章处理二项同余式理论。第四章展开同余式平方剩余的理论。第五章讨论二元二次形式，并发展成三元二次形式的理论。第六章讨论第五章的特殊情形，第七章被视为书中的精华。高斯使用二项同余式理论来解代数方程式 xn=1，n∈N。从而应用在n等分圆周及正n多边形的作图上。[7]
高斯晚年说：“《Disquisitiones Arithmeticaes》已经成为历史性的著作了。”他的话是对的。
此后高斯投入天文学、物理学等的研究，一直到晚年才全神回到数学的研究上来。
五 投入天文学的研究
1800年代在天文学上是进展迅速的一个时期。观测天文学在技术与仪器上都有长足进步。而天象图是由有系统的观测资料编纂而成的。在理论天文学方面，天王星在1781年被发现（海王星在1846年，冥王星迟至1930年才被发现）。这对计算星座的扰动（Perturbation）的准确性很有帮助。
1801年是高斯划时代的一年。过后他回想起来，觉得有那么多科学真理涌现在他脑海中，使他无法抵挡。
1801年元旦意大利天文学家 G. Piazzi（1746-1826）在巴勒莫发现一颗小彗星Ceres（谷神星），它不带尾巴，也没有外被（envelope）。一直到2月11日他才观测到 Ceres 的轨道9°， 过后它就在太阳阴影下不见了。 依据“波得法则”（Bode's law）， 这个星应该存在，并在1801年底或1802年初再出现。于是欧洲的天文学家们忙着算出Ceres再出现的轨道。 而他们所能根据的是Piazzi 发表在德国的《天文月刊》9月号上的所有观测数据。
高斯在当年的9月29日才出版《Disquisitiones Arithmeticaes》， 但是这个讯息立刻引起他的兴趣。Piazzi虽然前后观测了41天。可也只有三天的观测数值。 在高斯的日记第119、第120项（1801年9月与10月） 里，高斯记下他开始算 Ceres 的轨道。高斯想，必定有一个椭圆轨道适合 Piazzi 给的数据。这问题便是：天空上有两个星，地球与 Ceres 在各以太阳为一焦点的 C与C二椭圆上运行（开普勒第一定律）。而地球的轨道C已知，并有三条空间直线（观测线） 发自C至C。 两直线间的C弧已知，要求出C曲线。[8]
1801年11月高斯完全解决了这个问题，就跟众多天文学家们一样，他把结果发表在《天文月刊》上。德国 Seeberg 观测台长兼《天文月刊》编辑 F. X. G. von Zach（1754-1832）根据高斯发表的轨道，在1801年12月31日至1802年1月1日看到 Ceres。1802年1月1日，不来梅的 H. W. M. Olbers(1758-1840)也在高斯预测的轨道上看到 Ceres。由此天文学家们为 Ceres 的再现狂喜不已。同时高斯的名声传遍了全世界。大家认为他是第一流的理论天文学家。早先高斯在天文学界默默无名。他没有天文学家该具备的仪器，甚至于连望远镜也没有。但是这位数学天才单凭三次数据就正确地算出消失不见的彗星的轨道出来。
高斯在1802年1月18日写信给 Olbers 问他观测 Ceres 的结果。这是他们间友谊的开始。Olbers是一位成功的开业医生兼杰出的业余天文学家。他看病人到晚上十点，过后在家里屋顶上的观测站看天象。据说他每天的睡眠时间不超过四小时。当时德国的天文学家们很喜欢围绕在 Olbers 的身边。他是他们的原动力，而且从他的观测站可能可以获得一些新的观测数据，如果他们凭那些数据有新发现，则可以名垂不朽呢。
1802年 Olbers 在 Ceres 近旁发现一新星叫 Pallas。1804年 Ludwig Harding发现一星叫 Juno。 这些星的轨道当然全权委托高斯来计算了。高斯一个小时可以算出一个彗星的轨道来，而欧拉用古老法则须花上整整三天时间。
1801年夏圣彼得保大学想聘请Ziemann。Brünswick 公爵为了留住他，升任他为枢密顾问官，并让他辞卸 Catharine 高等学校的教职。这个缺本来高斯有望，但是后来由高斯先前的老师、博物学家 Hellwig 继任。公爵可也要留任高斯，就把他的年金升为400 thaler，酬庸他写出《Disquisitiones Arithmeticae》。高斯听到这个消息后不禁叫出：“可是我都还没有为这个国家做任何事啊！”他便自费买了一个六分仪， 提供 Brünswick 的人们使用。
高斯被全世界公认为名人的事实是，给他的赠与纷至沓来。1802年1月31日他被聘任为圣彼得堡科学院外国通讯会员。同年9月5日又有邀约请高斯当圣彼得堡天文台长。高斯在犹疑中。Olbers 听到消息后为了要留住高斯在德国境内，他动用他的关系，想让高斯当将建立的哥廷根天文台的台长。而公爵的反应是，又增加了高斯的年金。高斯觉得这样很好，他没有固定官职，但能正式为公爵工作。这样的地位适合他的嗜好与需要。
1803年6月2日高斯给 Bolyai 信，信中说天文学与纯粹数学是他心中的罗盘指针经常指向的两极。
六
结婚
高斯的母亲结婚前在鞣皮工场主 Ritter 家帮佣。高斯出生后 Ritter 家两个男主人当他的教父。 因此高斯小时候常常去 Ritter 家玩。 圣诞节时那里一定有一份 高斯的礼物。从哥廷根回来后，高斯有机会就往 Ritter 家走动。他享受那里的 Brünswick 中产阶级家庭中和谐的气氛。在那里，高斯与 Johanna Osthoff（1780.5.8-1809.10.11） 认识了。 她是另一名鞣皮工场主 Osthoff 家唯一的孩子。她长得柔美，性情明朗、可亲又明事理，也受了一些教育。
1804年6月28日高斯给 Bolyai 信说，他认识了一位他渴望成为终身伴侣的美好女子近一年。她美丽的面容犹如圣母般，显现出身心的平和。她个性活泼，快活而且谦和。尤其重要的是，她有天使般的爱心。1804年7月2日高斯给Johanna求婚信。信中他说他的将来姑且不谈，目前他拥有的足够两个年轻人不操劳地快乐过日子，他所能够提供给她的是他那一颗温暖、充满着爱的心。
对高斯的信Johanna拖了三个月没有回答。高斯的名气太大，态度高不可攀等使她着实犹疑了一阵子。高斯不解Johanna的沉默。不过当时的政局开始让他分心，而且不安起来。那时候拿破仑已攻破德国南方诸邦，开始以他的方式分割德国境内一些小国。高斯虽然依附 Brünswick 公爵，拿年金过日子，但是将来的变数蛮多。
Johanna 终于答应了高斯的求婚，他们在1804年11月22日订婚了。
订婚后三天，高斯满怀喜悦地给 Bolyai 写信说，他三天前订婚了。 如今人生在他眼前彷佛是永恒的春天般充满着光彩。 他并劝 Bolyai 也做做实地天文学，它仅次于在这人世间他所能尝到的甜美，又充满喜悦的纯数学真理的研究。
1805年10月9日，高斯与Johanna在 St. Catarina教堂结婚，住在 Ritter 家所拥有的房子 Steinweg 22号。高斯单身时也住在那儿。
在Olbers那里高斯认识了贝瑟尔（ Friedrich Willhelm Bessel，1784-1864）。当时贝瑟尔年方20，在不来梅一家商业机构做事。 由于他喜欢天文学，也就结识了Olbers。 后来贝瑟尔成为实验与理论双方面都是第一流的天文学家。高斯虽然跟 Olbers 有深交，但是往后对 Olbers下的冷峻评语是：“Olbers在天文学方面着实做了很大的贡献。 但是他最大的贡献在于适时发现了贝瑟尔在天文学上的才能， 而为科学栽培了他。”
Olbers介绍贝瑟尔给高斯为的是要贝瑟尔替高斯分析观测数据。 他们初次见面较晚，但高斯给贝瑟尔深刻印象，高斯给贝瑟尔的《Disquisitiones Arithmeticae》这本书，贝瑟尔爱不舍手，磨损后又重新装订。贝瑟尔终其一生认高斯为师。而高斯也给贝瑟尔最好的评价。 两人之间从此有42年（中间间断过一阵） 的书信往来。 这些内容是研究高斯最有科学价值的数据。
1806年8月21日高斯喜获一子。高斯为纪念 Ceres 发现者 Piazzi， 以 Piazzi 的名字Joseph命名长子。
高斯与家人在 Brünswick 平静地过日子， 但当时政局越来越不妙了。拿破仑在巩固他的地盘，而普鲁士与奥地利没有防卫法国的一致性看法，形势看来很险恶。于是普鲁士注意到同盟国的俄罗斯，便在1806年1月30日派Brünswick公爵为特使往圣彼得堡商讨联合攻防法国事宜，但没有获得结果。倒是圣彼得堡许多人士问公爵有关高斯的事，并请他放人，让高斯接受他们的邀请。
当3月23日公爵一回国，为了要留住高斯便决定再升高斯的年金为 600 thaler， 高斯在他生日当天听到这个消息。在5月高斯找一天拜访公爵，表达谢意。这是他们最后一次的见面。前后十四年的交往中公爵给高斯很大的学术研究机会，接着的数月政治风波使公爵再也无暇顾及高斯了。
普鲁士为了要阻挡法国势力向中欧伸张，在1806年10月发动战争，而以年迈七十的 Brünswick公爵（他是 Fredrick 大帝在七年战争中的名将） 为统帅。 战场由约拿（Jena）战到奥尔施塔特（Auerstaedt）。在10月14日晨，公爵在发号指令时被敌方的毛瑟枪伤到。 弹丸由公爵的右眼上方射进，打碎鼻梁；从左眼窝挖出左眼来。受伤的公爵退出战场。有一小队代表团派往拿破仑军营陈情：希望拿破仑以军人的宽宏大量让 Brünswick 公爵能在家人围绕中咽气。 但是他们受到情绪低落的拿破仑的嘲弄与侮辱。为了避免成为阶下囚，濒死的公爵只有逃亡一途。
那时候高斯住家在公爵邱邸的正对面。10月25日清晨高斯被忧郁的马车声惊醒。从窗口他看到长形的双头马车载着垂危的公爵像柩车般慢慢地驶往汉堡门。公爵终于在 Altona（汉堡附近的一都市） 地方的小旅舍去世。从此，高斯恨透了让他的恩人遭受到如此下场的拿破仑与法国这个国家。
早先Brünswick公爵有意在 Brünswick 为高斯建造一座天文台，先慷慨解囊让 高斯购买一座十英尺长的望远镜。它迟迟才安置好，反射镜经过修正研磨后效果好极。但是要建立天文台，谈何容易！
经过Olbers的周旋， 在1805年高斯将是建造中的哥廷根天文台台长已成定局了。 但是1806 年10月的战争使本来隶属汉诺威王国的哥廷根变成为法国势力下的威斯特伐利亚（Westphalia）王国， 国王是拿破仑小弟Jerôme（他统治不到10年）。
1807年7月25日高斯正式收到哥廷根大学的聘请。 结果 Collegium Carolium 当局因教授指使，来索求高斯使用的望远镜。高斯认为望远镜要归赫尔姆施泰特大学的 Pfaff 教授保有才能发挥那一座望远镜的功能。但是他的意见没有被采纳，这使他怏怏不乐。他就在不快中离开Brünswick。太太 Johnnna 对 Brünswick 百般不舍，因为她的亲朋全在那儿。
七 哥廷根
时代的开始
他们一家人在1807年11月21日到达哥廷根。住进旧天文台边的一座老旧房舍。 那时候汉诺威旧政体已经瓦解，威斯特伐利亚新政府尚未组成，所以高斯避免了正式向政府作就任宣誓的尴尬场面。
高斯当哥廷根天文台长兼哥廷根大学教授都还没有领到薪水，法国就已经向新政府发令征收战争金，而高斯的份是2000法郎。这在当时是一大笔钱。有一天 Olbers 寄来 2000法郎给他。不久拉普拉斯来信，告诉高斯他已经在巴黎替高斯付清了这一笔钱。高斯退还了Olbers的钱，至于拉普拉斯，高斯后来加上利息还清了这笔钱。高斯还收到了一笔从美因河畔法兰克福（Frankfurt am Main）寄来的1000 frolin（德国境的一种旧币）匿名捐款，这回他收下了。 过后他获悉那是法兰克福大公为敬佩高斯的功绩，从公款挪出的钱。
科学家兼探险家洪堡（Alexander von Humbolt，1769-1859） 在1804年从南美航海之旅回到巴黎时听到法国科学界对高斯的一片赞赏声， 使他对高斯印象深刻。 后来他在1807年与高斯认识，并多年致力于罗致高斯到柏林大学，但最终没有成功。他与政治家哥哥威廉（Wilhelm von Humbolt，1767-1835） 比高斯更早在哥廷根大学学过。 三个人后来成为终生莫逆之交。
1808年2月29日高斯通知他的双亲当天 Johanna 生了一个女娃， 并以发现 Pallas 的 Olbers 的名字命名为 Wilhelmine。 大家称她 Minma。高斯惋惜Minma要在四年中才有一个生日。 同年4月14日高斯的父亲去世。
1808到1809年间，舒马赫（H. C. Schumacher，1780-1850）来哥廷根跟高斯学天文学。 他记下他与高斯的对话成书，叫做《Gaussiana》。 这本书对后世研究他们两人很有帮助。他们的交往持续到舒马赫去世。 两人的书简集共六册。
1809年9月10日高斯的次子 Louis 诞生。 他的名字是为纪念 Juno 的发现者A. L. Harding，而以 Harding 的名字命名的。Harding从1807年起成为高斯在哥廷根天文台的副手。
生 Minna 时 Johanna 夫人已经是难产，这回生完 Louis 三十一天，在10月11日她便去世了。高斯悲恸已极，写信给Olbers ：“昨夜八点我盖上了我的天使的双眼，在那里，五年来我寻觅到我的天国……” 的确他们的婚姻生活非常美满。高斯给 Bolyai 的信中就有过描述：“我快乐地过着家居生活。当小女儿长出一颗牙齿或是小儿子学到一个新词儿，这在家里就像发现了一颗新星或是新的真理那般重要。”
Johanna的葬礼后高斯出发到不莱梅找 Olbers， 回程去 Altona 找舒马赫， 又去 Brünswick 找故旧寻求慰藉。1927年高斯的孙子Carl在祖父的书堆中找出高斯哀悼亡妻泪痕斑斑的信，信有两部份， 第二部份是在不莱梅写的，日期是10月25日。第一部份他诉说，本来以为亡妻是他永远的伴侣，没想到她一下子就走了。 她一直只以他的快乐为念， 并原谅他的错失。但望她的灵魂能永久伴随他，给他力量，让他不消沉，好好照料三个小孩子。第二部份的信中高斯写他很寂寞。 围绕他的人们让他暂时忘却痛若，但过后悲哀却变成双倍来袭击他。她最后的叮咛是教他不要被悲伤打垮。但望她的爱与善良能活生生地永留他的心中，能助他有勇气奋斗下去。
高斯口中“可爱的小 Louis”却在1810年3月1日猝死，追随妈妈，走了。
高斯的第二部巨著《在太阳周围回转成圆锥曲线的天体之运动论》（Theoria motus corporum coelestium in sectionibus onicis Solem ambientium）在1809年成书，由当时最著名的出版商 F. C. Pertes 印刷。本来他用德文写，后来听从 Pertes 的意见，为普及起见写成拉丁文。 内容是高斯依据开普勒的法则，作出圆锥曲线（椭圆与双曲线；物线不适用） 运动之下的天体轨道计算方法的完全体系。并从观测天体的三个点决定恒星或彗星轨道的一般方法。书的内容终于最小二乘法的解说。
这本书以形式上简洁，文笔优雅、有完美性及独创性著称。当时常有新星出现，天文学家们不得不借它来计算星座的轨道， 因此出版后有四十年之久它成为天文学家们必须精通的教科书。所以学者们对《运动论》的评价很高，世界各地的学会也就争聘高斯为他们的会员了。 法国科学院更在1810年赠送他 Lalande 奖 [为纪念法国数学家及天文学家 J. J. LeFranc ̧ais de Lalande（1732-1807） 所设立的奖] ， 高斯拒受。 后来科学院秘书与 Sophie Germain（1776-1831） 动用奖金的一部分买一座天文摆钟送他，他这才接受，还终生摆设那一座钟在他的房间里。
Sophie Germain是法国女数学家，她生在巴黎富裕人家，自修数学。她为免受岐视， 以 Le Blanc 的男性化名寄出论文，受到拉格朗日（ Lagrange，1736-1813）赏识而出名。 她也以Le Blanc 为名在1804年底与高斯通信讨论《Disquisitiones Arithmeticae》，给高斯深刻的印象。当1807年3月法军入侵 Brünswick 时，她怕高斯受到伤害，请法国军官去问候高斯。到此， 她才掀开她的女子身份。 她的主要贡献在于整数论。 她也因弹性表面的数学理论获得法国科学院的大奖（Grand Prix）。1837年哥廷根大学百年庆时高斯惋惜她已去世， 否则她的成就足够哥廷根大学赠与她荣誉博士学位。
高斯并不重视最小二乘法（Least squares）， 他认为许多从事数值计算的人自然会使用到它。 他在1794年就知道它。1798年在机率计算中用上它，1802年天文学的运算中也用到它。但是勒让德在1806年正式发表了最小二乘法的理论（名称是勒让德命名的）。勒让德抗议高斯在1809年的《运动论》中提及最小二乘法，不过事实上高斯早在1795年（应该是1794年）就发明了它。 后来拉普拉斯当他们两人的仲裁人， 裁定勒让德在发表上有优先权，但两人都分别发明了最小二乘法。勒让德注定在其他他辛苦钻研出来的成果上又跟高斯的发明重复， 如数论中平方剩余的相互法则、超越函数以及几何学的基础理论等。
高斯的研究情绪也有低落的时候。 在1807到1810年间，他写的有关椭圆函数的笔记中突然出现一句用细铅笔写的字：“过这样的日子不如死掉的好。”
八
再婚
为了要获得心灵上的宁静以从事研究工作， 并让孩子们能得到妥善的照顾，高斯很快就想到再婚。他选择的对象是 Johanna 夫人在哥廷根的好朋友 Minna Waldeck（1788.4.15-1831.9.12）。她是高斯在哥廷根大学的同事，法学教授 Johann Peter Waldeck 的小女儿。 她当时刚刚解除与别人的婚约，正意气消沉的时候。高斯先得 Minna 双亲的首肯后写信给Minna。 他坦陈在太太去世不到半年就向她求婚一定不会给人好印象。的确，亡妻的影子一直无法从他心中消失，如今他也只能献出半颗心来。不过向来亡妻很敬爱 Minna，深信 Minna 很乐意替代亡妻照料高斯和孩子们。但望 Minna 能为她自己熟虑后再做决定。Minna答应了婚事。他们在1810年8月10日结婚。高斯这么快便再婚着实让亲朋好友大吃一惊。这回高斯邀请他母亲从Brünswick过来同住。但是 Minna 是贵族出身，他的母亲犹疑到1817年才答应下来。
Minna料理家庭，也很爱护前人留下来的两个孩子。这使高斯对 Minna 满怀感激与谢意。这一次的婚姻也算美满。Minna并给高斯生了两男一女：Eugene（1811年7月11日生，三男）， Wilmhelm（1813年10月23日生， 四男） 与 Therese（1816年6月9日生，次女）。
哥廷根天文台的建筑一直拖延下来。 直到1810年威斯特伐利亚政府为天文台的建造工作做了五年计划， 打算投入20万法郎来完成它。
威斯特伐利亚政府并给高斯贵族封号 Ritter von Gauss， 来酬劳他学术上的贡献。这一年柏林大学邀约高斯去教学，但他与 Minna 结婚已加深了与哥廷根大学的关系，并没有答应这个邀请。
1811年8月，天空上突然出现一颗闪亮的大彗星。高斯在8月22日黄昏时分看到它。几天后他开始观测，这时 von Zach 八月初旬的观测结果已经到手了。 由这些高斯算出这颗大彗星的物线轨道。 它再现时果然在高斯算出的轨道上， 并印证他的预言，亮度增强了。 而欧洲的人们则视这颗大彗星为一代霸主拿破仑开始落败的预兆。
1812年1月30日高斯在哥廷根皇家科学学会上发表超几何级数1
的论文。这个级数因a，b，c 取特别的数而可成为二项级数、对数、三角函数等解析学上很重要的级数。高斯是首位对无限级数的收敛性做出研究的数学家。
1812年6月底拿破仑率领近45万大军攻打俄罗斯而取道德国。之前拉普拉斯向拿破仑进言请他对哥廷根大学特别关照。 因为那儿住着当代最顶尖的数学家高斯。
这回的战争拿破仑吃了瘪。俄罗斯军既不迎战，也不讲和却一直退却，并使用坚壁清*术。而俄罗斯冰冷的冬天也到了，法国军又冷又饿，终于在10月19日开始撤退。但一路上俄罗斯军与德国等同盟军联合起来追击，法国军落败得很惨， 回到法国的残兵只剩下9万余人。
由拿破仑撑腰的威斯特伐利亚王国随着拿破仑的退位（1814年4月6日）在1814 年瓦解。哥廷根又归属于汉诺威王国。
此后十年是高斯成果丰硕的时期。 他出了二十数篇范围广泛的论文， 其中有理论及观测天文学、曲面论、整数论及对数的问题等，还给代数基本定理另两种证明。
1816年9月17日哥廷根新天文台完成了。高斯一家人搬进天文台边西翼的宿舍。
九 从事地形测量的工作
早在1816年6月8日舒马赫给高斯一信，说丹麦王出资让他测量丹麦境内（当年的丹麦国土包括一部份现今德国领土）的经纬线。他问高斯有没有兴趣。高斯在7月5日的信中回答， 如果是在汉诺威境他很乐意参加测量工作，也愿意协助三角座（主要的三个地点） 的计算问题。于是舒马赫运用他的关系，终于在1818年9月由诺威首相正式委任高斯做 Luneburg 地方（过后又扩大范围）的测量工作。（汉诺威地区靠近荷兰边缘的在拿破仑时代已测量过）
测量工作如要测得相隔较远的A、B 两处， 则从 A 点取一近点 C。 由 A、C 观望同一高处测量点 D。 量出
， ∠DAC 与∠ACD。 则
、
