函数应该算是数学中最重要的概念之一，也是我们接触得比较多的数学对象，从小学到大学的数学学习之中，函数可以说无处不在。如今我们以极为简洁的方式定义了函数，然而函数概念的发展却并不是一帆风顺的，大量的数学家耗费将近三个世纪的时间才最终形成了一套成熟的函数语音。
将自然现象和规律用数学方式表达出来并加以研究应当说是近代科学得以发展的一个重要原因，而函数在这个过程中几乎起着决定性的作用。根据现存的资料，函数概念的雏形最早出现在葛列格里(1638~1675)的论文《论圆和双曲线的求积》中，他把函数定义为其他量通过一系列运算得到的量。但直到牛顿创立微积分理论，他也没有明确到底什么是“函数”，而只是使用“流数”这样的概念来表达变量之间的关系，在之后很长一段时间里，由于函数概念的含糊不清，微积分理论一直饱受争议。尽管如此，不严格的微积分理论还是催生了数学内外的大量成果，但不严格性始终如同达摩克斯之剑一般悬在数学家头上。
实际上，函数这个词出自“数学名词和符号圣手”莱布尼茨，他在1673年首先使用了“函数”这个词，并且提出了“变量”和“参变量”这样的概念，这已经非常接近函数如今的模样。牛顿和莱布尼茨时代的函数基本都是为了适应微积分理论而出现的，也就是说，这些函数都是可以用自变量明确表示出来的，而且满足可导性等较为严格的条件。但数学家们很快就发现，函数的解析性大大地局限了所能研究的范围，进而出现了连续函数的概念，当时被称之为“几何的函数”。这一时期的函数都具有强烈的几何色彩，也就是说，数学家所关心的函数都可以用图像表示出来，可以直观地感受函数的性质。
直观的函数概念对于数学本身的发展来说还远远不够，于是函数论的发展很快就走上了抽象化的过程。如今我们通用的函数记号f(x)是欧拉在1734年提出的，大概从这个时候起，函数论开始走上了独立的发展道路。1769年，达朗贝尔在研究中首先得到了函数方程：
