第六节二阶常系数齐次线性微分方程教学目的：使学生掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法，了解二阶常系数非齐次线性微分方程的解法
教学重点：二阶常系数齐次线性微分方程的解法
教学过程：
一、二阶常系数齐次线性微分方程
二阶常系数齐次线性微分方程: 方程
y¢¢ py¢ qy=0
称为二阶常系数齐次线性微分方程, 其中p、q均为常数.
如果y1、y2是二阶常系数齐次线性微分方程的两个线性无关解, 那么y=C1y1 C2y2就是它的通解.
我们看看, 能否适当选取r, 使y=erx 满足二阶常系数齐次线性微分方程, 为此将y=erx代入方程
y¢¢ py¢ qy=0
得
(r 2 pr q)erx =0.
由此可见, 只要r满足代数方程r2 pr q=0, 函数y=erx就是微分方程的解.
特征方程: 方程r2 pr q=0叫做微分方程y¢¢ py¢ qy=0的特征方程. 特征方程的两个根r1、r2可用公式
添加图片注释，不超过 140 字（可选）
求出.
编辑切换为居中
添加图片注释，不超过 140 字（可选）
编辑切换为居中
添加图片注释，不超过 140 字（可选）
(3)特征方程有一对共轭复根r1, 2=a±ib时, 函数y=e(a ib)x、y=e(a-ib)x是微分方程的两个线性无关的复数形式的解. 函数y=eaxcosbx、y=eaxsinbx是微分方程的两个线性无关的实数形式的解.
函数y1=e(a ib)x和y2=e(a-ib)x都是方程的解, 而由欧拉公式, 得
y1=e(a ib)x=eax(cosbx isinbx),
y2=e(a-ib)x=eax(cosbx-isinbx),
