答案自然是这个点附近的点给这个质点施加了一个相反的张力，这样这个点一边被我拉，另一边被它邻近的点拉，两个力的效果抵消了。但是力的作用又是相互的，附近的点给端点施加了一个张力，那么这个附近的点也会受到一个来自端点的拉力，然而这个附近的点也没动，所以它也必然会受到更里面点的张力。这个过程可以一直传播下去，最后的结果就是这根绳子所有的地方都会张力。
而且，我们还可以断定：如果绳子的质量忽略不计，绳子也没有打结没有被拉长，那么绳子内部的张力处处相等（只要有一个点两边的张力不等，那么这个点就应该被拉走了，绳子就会被拉变形），这是个很重要的结论。
通过上面的分析，我们知道了当一根理想绳子处于紧绷状态的时候，绳子内部存在处处相等的张力。当一根绳子静止在地面的时候，它处于松弛状态，没有张力，但是当一个波传到这里的时候，绳子会变成一个波的形状，这时候就存在张力了。正是这种张力让绳子上的点上下振动，所以，分析这种张力对绳子的影响就成了分析波动现象的关键。
04波的受力分析
那么，我们就从处于波动状态的绳子中选择很小的一段AB，我们来分析一下这个小段绳子在张力的作用下是如何运动的。放心，我们这里并不会涉及什么复杂的物理公式，我们所需要的公式就一个，大名鼎鼎的牛顿第二定律：F=ma。
牛顿第一定律告诉我们“一个物体在不受力或者受到的合外力为0的时候会保持静止或者匀速直线运动状态”，那么如果合外力不为0呢？牛顿第二定律就接着说了：如果合外力F不为零，那么物体就会有一个加速度a，它们之间的关系就由F=ma来定量描述（m是物体的质量）。也就是说，如果我们知道一个物体的质量m，只要你能分析出它受到的合外力F，那么我们就可以根据牛顿第二定律F=ma计算出它的加速度a，知道加速度就知道它接下来要怎么动了。
牛顿第二定律就这样把一个物体的受力情况（F）和运动情况（a）结合起来了，我们想知道一个物体是怎么动的，只要去去分析它受到了什么力就行了，所以它牛。
再来看我们的波，我们从处于波动状态的绳子里选取很小的一段AB，我们想知道AB是怎么运动的，就要分析它受到的合外力。因为不考虑绳子的质量，所以就不用考虑绳子的重力，那么，我们就只要分析绳子AB两端的张力T就行了。
如上图，绳子AB受到A点朝左下方的张力T和B点朝右上方的张力T，而且我们还知道这两个张力是相等的，所以才把它都记为T。但是，我们知道波动部分的绳子是弯曲的，那么这两个张力的方向是不一样的，这一点从图中可以非常明显的看出来。我们假设A点处张力的方向跟横轴夹角为θ，B点跟横轴的夹角就明显不一样了，我们记为θ Δθ。
因为绳子上的点在波动时是上下运动，所以我们只考虑张力T在上下方向上的分量，水平方向上的就不考虑了。那么，我们把AB两点的张力T都分解一下，稍微用一点三角函数的知识我们就能发现：B点处向上的张力为T·sin（θ Δθ），A点向下的张力为T·sinθ。那么，整个AB段在竖直方向上受到的合力就等于这两个力相减：F= T·sin（θ Δθ）-T·sinθ。
好了，按照牛顿第二定律F=ma，我们需要知道物体的合外力F、质量m和加速度a，现在我们已经知道了合外力F，那么质量m和加速度a呢？
05波的质量分析
质量好说，我们假设绳子单位长度的质量为μ，那么长度为Δl的绳子的质量就是μ·Δl。
但是，因为我们取的是非常小的一段，我们假设A点的横坐标为x，B点的横坐标为x Δx，也就是说绳子AB在横坐标的投影长度为Δx，那么，当我们取的绳长非常短，波动非常小的时候，我们就可以近似用Δx代替Δl，这样绳子的质量就可以表示为：μ·Δx（本来我在考虑这里要不要再解释一下微积分思想，但是一想，会看这篇电磁波篇的，必须是已经提前看了麦克斯韦方程组的积分篇和微分篇，而我在那两篇里已经介绍过这种思想了，那这里就不说了~）。
质量搞定了，剩下的就是加速度a了。你可能以为我已经得到了合外力（F= T·sin（θ Δθ）-T·sinθ）和质量m（μ·Δx），那么剩下肯定就是用合外力F除以质量m得到加速度a（牛顿第二定律），不不不，这样就不好玩了。我们还可以从另一个角度来得到加速度a，然后把它们作为拼盘拼起来。从哪里得到加速度呢a？从描述波的函数f(x,t)里。
06波的加速度分析
不知道大家还记得我们在前面说的这个描述波的函数y=f(x,t)么？这个函数的值y表示的是在x这个地方，时间为t的时候这一点的纵坐标，也就是波的高度。我们现在要求的也就是AB上下波动时的加速度，那么，怎么从这个描述点位置的函数里求出加速度a呢？
这里我们再来理解一下加速度a，什么叫加速度？从名字就可以感觉到，这个量是用来衡量速度变化快慢的。加速度嘛，肯定是速度加得越快，加速度的值就越大。假如一辆车第1秒的速度是2m/s，第2秒的速度是4m/s，那么它的加速度就是用速度的差（4-2=2）除以时间差（2-1=1），结果就是2m/s²。
再来回想一下，我们是怎么求一辆车的速度的？我们是用距离的差来除以时间差的。比如一辆车第1秒钟距离起点20米，第2秒钟距离起点50米，那么它的速度就是用距离的差（50-20=30）除以时间差（2-1=1），结果就是30m/s。
不知道大家从这两个例子里发现了什么没有？我用距离的差除以时间差就得到了速度，我再用速度的差除以时间差就得到了加速度，这两个过程都是除以时间差。那么，如果我把这两个过程合到一块呢？那是不是就可以说：距离的差除以一次时间差，再除以一次时间差就可以得到加速度？
这样表述并不是很准确，但是可以很方便的让大家理解这个思想。如果把距离看作关于时间的函数，我们对这个函数求一次导数（就是上面的距离差除以时间差，只不过趋于无穷小）就得到了速度的函数，对速度的函数再求一次导数就得到了加速度的表示。所以，我们把一个关于距离（位置）的函数对时间求两次导数，就可以得到加速度的表达式。
波的函数f(x,t)不就是描述绳子上某一点在不同时间t的位置么？那我们对f(x,t)求两次关于时间的导数，自然就得到了这点的加速度a。因为函数f是关于x和t两个变量的函数，所以我们只能对时间的偏导∂f/ ∂t，再求一次偏导数就加个2上去。于是我们就可以这样表示这点的加速度a=∂²f/ ∂t²（关于偏导数的介绍，微分篇里有详细叙述，这里不再说明）。
这样，我们就把牛顿第二定律F=ma的三要素都凑齐了：F= T·sin（θ Δθ）-T·sinθ，m=μ·Δx，a=∂²f/ ∂t²。把它们集合在一起就可以召唤神，阿不，就可以写出AB的运动方程了：
这个用牛顿第二定律写出来的波动方程，看起来怎么样？嗯，似乎有点丑，看起来也不太清晰，方程左边的东西看着太麻烦了，我们还需要对它进行一番改造。那怎么改造呢？我们可以先把sinθ给干掉。
07方程的改造
为了能够顺利地干掉sinθ，我们先来回顾一下基本的三角函数：
如上图，右边是一个直角三角形abc，那么角θ的正弦值sinθ等于对边c除以斜边a，正切值tanθ等于对边c除以邻边b。
当这个角度θ还很大的时候，a比b要明显长一些。但是，一旦角度θ非常非常小，可以想象，邻边b和斜边a就快要重合了。这时候我们是可以近似的认为a和b是相等的，也就是a≈b，于是就有c/b≈c/a，即tanθ≈sinθ。
也就是说，在角度θ很小的时候，我们可以用正切值tanθ代替正弦值sinθ。我们假设这根绳子的扰动非常小，形变非常小，那么θ和θ Δθ就都非常小，那么它们的正弦值就都可以用正切值代替。于是，那个波动方程左边的sin(θ Δθ)-sinθ就可以替换为：tan(θ Δθ)-tanθ。
为什么我们要用正切值tanθ代替正弦值sinθ呢？因为正切值tanθ还可以代表一条直线的斜率，代表曲线在某一点的导数。想想正切值的表达式tanθ=c/b，如果建一个坐标系，那么这个c刚好就是直线在y轴的投影dy，b就是在x轴的投影dx，它们的比值刚好就是导数dy/dx，也就是说tanθ=dy/dx。
然而，因为波的函数f(x,t)是关于x和t的二元函数，所以我们只能求某一点的偏导数，那么正切值就等于它在这个点的偏导数：tanθ=∂f/ ∂x。那么，原来的波动方程就可以写成这样：
这里我稍微解释一下偏导数的符号，我们用∂f/ ∂x表示函数f(x,t)的偏导数，这是一个函数，x可以取各种各样的值。但是如果我加一个竖线|，然后在竖线的右下角标上x Δx就表示我要求在x Δx这个地方的导数。
再来看一下这个图，我们已经约定了A点的横坐标为x，对应的角度为θ；B点的横坐标是x Δx，对应的角度为θ Δθ。所以，我们可以用x Δx和x这两处的偏导数值代替θ Δθ和θ这两处的正切值tan（θ Δθ）和tanθ，所以波动方程才可以写成上面那样：
接着，如果我们再对方程的两边同时除以Δx，那左边就变成了函数∂f/ ∂x在x Δx和x这两处的值的差除以Δx，这其实就是∂f/ ∂x这个函数的导数表达式。也就是说，两边同时除以一个Δx之后，左边就变成了偏导数∂f/ ∂x对x再求一次导数，那就是f(x,t)对x求二阶偏导数了。
上面我们用我们已经用∂²f/ ∂t²来表示函数对t的二阶偏导数，那么这里自然就可以用∂²f/ ∂x²来表示函数对x的二阶偏导数。然后两边再同时除以T，得到方程就简洁多了：
把方程左边的tan(θ Δθ)-tanθ变成了函数f(x,t)对空间x的二阶偏导数，这个过程非常的重要，大家可以好好体会一下这个过程。正切值tanθ就是一阶导数，然后两个正切值的差除以自变量的变化就又产生了一次导数，于是总共就有了两阶，所以我们才能得到上面那个简洁的式子。
08经典波动方程
再看看方程右边的μ/T，如果你仔细去算一下μ/T的单位，你会发现它刚好就是速度的平方的倒数，也就是说如果我们把一个量定义成T/μ的平方根，那么这个量的单位刚好就是速度的单位。可以想象，这个速度自然就是这个波的传播速度v：
这样定义速度v之后，我们最终的波动方程就可以亮相了：
这个方程就是我们最终要找的经典波动方程，为什么把它作做经典的波动方程呢？因为它没有考虑量子效应啊，在物理学里，经典就是非量子的同义词。如果我们要考虑量子效应，这个经典的波动方程就没用了，我们就必须转而使用量子的波动方程，那就是大名鼎鼎的薛定谔方程。
薛定谔就是从这个经典波动方程出发，结合德布罗意的物质波概念，硬猜出了薛定谔方程。这个方程让物理学家们从被海森堡的矩阵支配的恐惧中解脱了出来，重新回到了微分方程的美好世界。薛定谔方程虽然厉害，但是它并没有考虑狭义相对论效应，而高速运动（近光速）的粒子在微观世界是很常见的，我们也知道当物体接近光速的时候就必须考虑相对论效应，但是薛定谔方程并没有做到这一点。
最终让薛定谔方程相对论化是狄拉克，狄拉克把自己关在房间三个月，最终逼出了同样大名鼎鼎的狄拉克方程。狄拉克方程首次从理论上预言了反物质（正电子），虽然当时的科学家们认为狄拉克这是在胡闹，但是我国的物理学家赵忠尧先生却几乎在同时就首次在实验室里观测到了正负电子湮灭的情况。
